معادله حرکت ساختمان چند طبقه در برابر زلزله

زلزله

همان طور که مشاهده می شود هیچ  بار دینامیکی خارجی به سازه ایده آل دو طبقه نشان داده شده در شکل 1 اعمال نمی شود. در این حالت تحریک اعمالی جنبش به وجود آمده ناشی از لرزش زمین است، و فرض بر آن است که تنها مولفه افقی این لرزش برابر با تغییر مکان (u_g(t، سرعت (u^·_g(t و شتاب (u^··_g(t به سازه اعمال می شود. در اثر چنین تحریکی، در صورتی که زمین صلب فرض شود، تراز پایه ساختمان به مقداری برابر با  (u_g(t تغییر مکان می دهد، و سازه در معرض تغییر شکل هایی قرار می گیرد که منتج به تغییرمکان طبقات خود با مقادیری برابر با (u₁(t و (u₂(t نسبت به زمین خواهد شد. و تغییر مکان کل طبقات  برابر خواهد بود با:

(1)

(2)

(شکل1- ساختمان دو طبقه در معرض نیروی زلزله)

دیاگرام های بدنه آزاد برای جرم های طبقات سازه ناشن داده شده در شکل 1 در شکل 2 نشان داده شده است و معادلات تعادل دینامیکی برابر خواهد بود با:

(3)

(4)

(شکل2-دیاگرام های بدنه آزاد)

معادلات 3 و 4 مطلب پیوست برای این تحریک نیز کماکان پا برجاست، زیرا که نیروهای الاستیک تنها وابسته به تغییر مکان های نسبت به تغییر مکان زمین می باشند و به تغییر مکان کل وابسته نیستند. اگرچه که، جرم های m₁ و m₂  به ترتیب در معرض شتاب های u^··₁^t و u^··₂^t قرار می گیرند ، بنابراین نیرو های اینرسی که بر خلاف نیروهای الاستیک به تغییر مکان کل وابسته هستند، برابر خواهند بود با:

(5)

(6)

که با کمک معادلات 1و 2 می توانند به صورت زیر نشان داده شوند:

(7)

(8)

معادلات تعادل دینامیکی، (معادلات 3 و 4) پس از جاگذاری معادلات 7 و 8 و روابط مربوط به نیرو های الاستیک می توانند به صورت زیر نشان داده شوند:

(9)

(10)

این دو معادله دیفرانسیل حاکم بر حرکت سازه دو طبقه در معرض جنبش زمین با شتاب (u^··_g(t بوده که این حرکت با تغییر مکان های (u₁(t و (u₂(t، تعیین و توصیف  می شود. این معادلات می توانند به صورت ماتریسی به صورت زیر بازنویسی شوند:

(11)

که u بردار جابه‌جایی ،  ^··u بردار شتاب و m ماتریس جرم و k ماتریس سختی هستند که در مقالات‌ قبل معرفی شدند و 1 نیز برداری با دو درایه برابر با واحد می باشد. 

پس از تعیین معادله حرکت سازه دو طبقه در معرض زلزله، حال به بررسی یک ساختمان N طبقه تحت اثر نیروهای لرزه ای می پردازیم. (شکل 3) 

(شکل3-ساختمان چند طبقه در معرض زمین لرزه)

در معرض چنین تحریکی، در صورتی که زمین صلب باشد، تراز پایه سازه به اندازه (u_g(t جابه‌جا شده و پیکره تغییر شکل یافته سازه توسط تغییر مکان های (uj(t که
(j=1,2… N) می باشد، نسبت به زمین محاسبه می شود. 

  همچنین N معادله تعادل این سازه می توانند به صورت معادله 11 نشان داده شود، که u بردار تغییر مکان، m ماترسی جرم و k ماتریس سختی که پیشتر برای ساختمان N طبقه بیان شد و 1 بردار متشکل از N المان برابر واحد می باشد. 

با در نظر گرفتن نیروهای میرایی در معادله 11 وابسته به ماتریس میرایی C و بردار سرعت ^·u خواهیم داشت:

(12)

مقایسه دو معادله 12 و معادله 16  مطلب پیوست نشان می دهد که معادلات حرکت دو سازه در معرض نیروهای دو تحریک با ماهیت متفاوت شامل شتاب زمین = (u^··_g(t و نیروهای خارجی = (m_ju^··g(t- یکسان می باشند. پاسخ سازه (u(t در برابر شتاب زمین  (u^··_g(t برابر با پاسخ سازه قرار گرفته بر روی تراز پایه ثابت در معرض نیروهای خارجی با مقداری برابر با حاصلضرب جرم طبقات در شتاب زمین که در راستای مخالف با شتاب زمین عمل می کنند، می باشد. همان طور که در شکل 4 نشان داده خواهد شد، جنبش زمین می تواند با نیروهای موثر = (m_ju^··g(t- که (j=1,2… N) جابه‌جا شود.

(شکل4-نیروهای موثر زلزله)

صورت مسئله

با مشخص بودن ماتریس جرم m، ماتریس سختی K ، ماتریس میرایی C، و نیروهای محرک (p(t یا شتاب زمین (u^··_g(t، مسئله اساسی در دینامیک سازه ها تعیین پاسخ جابه‌جایی (u(t، سازه می باشد. نیروهای داخلی و سایر کمیت های پاسخ مورد نظر می توانند از پاسخ تغییر شکل سازه بدست بیایند. 

در صورتی که ماتریس جرم و سختی سازه می توانند از ابعاد و اندازه های المان های سازه ای و غیر سازه ای بدست بیایند، اما محاسبه ماتریس میرایی به صورت مشابه مرسوم نمی باشد. استهلاک انرژی در  یک ساختمان چند طبقه در اثر ترکیب مکانیزم های متفاوتی همچون اصطکاک اتصالات سازه، اصطکاک بین المان های سازه ای و غیر سازه ای، میرایی ناشی از ماده، میکرو ترک های بتن و … می باشد.

به صورت کلی، تعیین مقادیر این مکانیزم های اتلاف انرژی موضعی ممکن نیست. به همین دلیل تعیین تحلیلی ماتریس میرایی مشابه با ماتریس های جرم و سختی سازه امکان پذیر نیست. بنابراین میرایی در سازه به صورت عمومی توسط آزمایشات بر روی سازه های مشابه که به صورت راهنمای مهندسین در نظر گرفته می شود، تعیین می گردد. محاسبه نسبتهای میرایی از آزمایشات ارتعاش سازه ها و از رکوردهای جنبش آن ها در هنگام زلزله را در مطالب آتی بررسی خواهیم کرد. 

در مطالب آتی، پاسخ سازه چند طبقه را در ارتعاش آزاد، نیروهای هارمونیک و زمین لرزه را بررسی خواهیم کرد. مدل ایده آل سازی شده ساختمان N طبقه یک سیستم چند درجه آزادی است که دارای N درجه آزادی بوده زیرا که پاسخ آن توسط N معادله دیفرانسیل تعریف می شود که داری N مجهول، (uj(t که(j=1,2… N) می باشد. 

«دپارتمان سازه سامانه کارگشا»

احتراما سوال و یا درخواست همکاری خود را مطرح فرمایید.(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)