آنالیز مدال

آنالیز مدال پاسخ زمین لرزه

با داشتن ماتریس های جرم، سختی و میرایی سازه و شتاب زلزله، پاسخ تغییر مکان سازه می تواند از حل معادلات تعادل تعین شود:

(1)

برای یک سازه N طبقه ایده آل، این معادله ماتریسی شامل N معادلات دیفرانسیل عادی با N مجهول تغییر مکان طبقات (u_j(t، j. که j=1 to N به طور معمول، هر یک از این معادلات شامل بیش از 1 مجهول می باشد، و نمی تواند به صورت مستقل از معادلات دیگر حل شود. بنابراین N معادله می بایست به صورت هم زمان توسط روش های کامپیوتری موجود حل شوند. 

در روش مدی یا روش برهم نهی مد ها از حل هم زمان معادلات وابسته اجتناب می شود. عموما این روش برای تحلیل پاسخ دینامیکی سازه های پیچیده در بازه رفتار خطی آن ها کاربردی است، به ویژه برای تحلیل نیروها و تغییر مکان ها در ساختمان های چند طبقه در برابر زمین لرزه با شدت متوسط که منجر به پاسخ هایی با مقادیر زیاد اما در بازه پاسخ خطی سازه، استفاده می شود. این روش منجر به نتایج دقیق برای تاریخچه کامل پاسخ دینامیکی سازه در حین زلزله می شود و می تواند برای تخمین پاسخ بیشینه به صورت مستقیم از طیف پاسخ زلزله استفاده شود. 

تحلیل تاریخچه پاسخ

روش مدی و یا روش بر هم نهی مد ها، بر این اساس استوار است که برای حالت های مشخص میرایی که مدل های منطقی برای بسیاری از ساختمان ها هستند، پاسخ سازه در هر یک از مد های طبیعی ارتعاش سازه می تواند به صورت مستقل از سایر مد های حاصل شود، و برای تعیین پاسخ کل پاسخ های مد ها می توانند با یکدیگر ترکیب شوند.

هر مد با الگوی تغییر شکل ویژه مربوط به خود، مد طبیعی ارتعاش Φ_n ؛ فرکانس مربوط به خود، فرکانس طبیعی ارتعاش ω_n ؛ و میرایی مدی مربوط به خود، نسبت میرایی ξ_n  پاسخ می دهد. تاریخچه پاسخ هر مد می تواند از تحلیل سیستم تک درجه آزادی با مشخصاتی که بیان گر رفتار آن مد باشند و اندازه ای  که توسط جنبش زمین تحریک می شود، قابل محاسبه است. 

معادله حرکت مد n ام ارتعاش طبیعی ساختمان چند طبقه ایده آل می تواند به صورت زیر نشان داده شود:

(2)

که 

(3)

و رابطه زیز جرم مدی است:

(4)

این معادله مدی همچنین معادله حرکت سیستم تک درجه آزادی (معادله 2 مطلب پیوست) با فرکانس ارتعاش طبیعی ω_n، نسبت میرایی  ξ_n، که به اندازه L_n/M_n که توسط شتاب زمین (u^··g(t تحریک شده است. بنابراین با تحلیل یکسانی با معادله 3 مطلب پیوست تغییر مکان مدی برابر خواهد بود:

(5)

که ω_nD در رابطه 3 مطلب پیوست تعریف شده است.

سهم مد n ام در تغییر مکان (u_g(t در طبقه j ام به صورت رابطه زیر می باشد:

(6)

که پس از جاگذاری معادله 5 خواهیم داشت:

(7)

تغییر مکان یا دریفت(رانش) در طبقه jام توسط اختلاف تغییر مکان های طبقات زیر و رو داده شده است:

(8)

نیروهای داخلی، همچون برش طبقات و ممان ها و … متناظر با تغییر شکل های ساختمان چند طبقه می توانند به سهولت با مفهوم نیروهای معادل جانبی تعیین شوند.

این نیروها نیروهای خارجی f هستند که اگر به صورت بارهای استاتیکی اعمال شوند منجر به تغییر مکان های سازه u می شوند.(برای تشابه با نیروی معادل جانبی سازه یک طبقه که پیشتر معرفی شد و با اسم f_s نشان داده می شد، بردار نیرو برای ساختمان های چند طبقه می بایست با اسم f_s نشان داده شود که به دلیل آنکه برخی از معادلات با این اسم پیچیده می شوند، بنابراین زیر اندیس s حذف شده است.)

بنابراین در هر لحظه از زمان نیروهای معادل جانبی متناظر با تغییر مکان ها مدی (u_n(t به صورت زیر می باشند:

(9)

پس از جاگذاری معادله 6 خواهیم داشت:

(10)

این نیرو ها را می توان با کمک معادله مشخصه بر حسب ماتریس جرم بازنویسی کرد:

(11)

که نیرو در طبقه j ام برابر با خواهد بود با :

(12)

که پس از جاگذاری معادله 5 خواهیم داشت:

(13)

هر یک از نیروهای داخلی می تواند با تحلیل استاتیکی سازه قرار گرفته در برابر نیروهای معادل جانبی تعیین شود. به طور مثال برش و خمش در تراز پایه ساختمان برابر خواهند بود با :

(14)

(15)

که h_j ارتفاع طبقه جی ام از تراز پایه است. (شکل 1)

(شکل1)

پس از جاگذاری معادله 13 ، برش پایه می تواند به صورت زیر نشان داده شود:

(16)

و لنگر واژگونی برابر خواهد بود با:

(17)

پاسخ سازه در برابر زلزله توسط ترکیب پاسخ های مدی در تمامی مدهای ارتعاش حاصل می شود. بنابراین تغییر مکان در طبقه j ام ، نیروی جانبی معادل در طبقه j ام ، برش پایه و لنگر واژگونی به صورت زیر خواهد بود:

(18)

در حالت کلی، مقدار کل پاسخ (r(t ترکیب سهم های تمامی مدهای ارتعاش در مقدار آن پاسخ خواهد بود:

(19)

پیرو روش مدی یا روش بر هم نهی مدها که در این مطلب توضیح داده شد، پاسخ یک ساختمان ایده آل 3 طبقه نشان داده شده در شکل 2  برابر جنبش زمین که در همان تصویر نشان داده شده است، توسط برنامه کامپیوتری تعیین شده است. قسمتی کوچکی از نتایج پاسخ، به عبارتی تغییر مکان تراز بام و برش پایه نشان داده شده است. این پاسخ ها به صورت تابعی از مدت زمان زلزله و اثرات سه مد طبیعی ارتعاش برای هر کمیت پاسخ به همراه پاسخ کل مشاهده می شوند. 

(شکل2a- پاسخ ساختمان 3 طبقه در برابر تحریک زلزله )

(شکل2a- پاسخ ساختمان 3 طبقه در برابر تحریک زلزله )

یک ویژگی شاخص روش مدی آن است که تحلیلی مستقلی از سیستم های تک درجه آزادی برای هر یک از مدهای طبیعی ارتعاش حاصل می شود. و ویژگی دیگری که از اهمیت بیشتری برخوردار است آن است که با توجه به این مهم که پاسخ به زلزله اساسا در اثر مدهای اولیه ارتعاش است(به شکل 2 دقت شود.) تنها کافی است که پاسخ چند مد ابتدایی تعیین شود. بنابراین، تنها چند فرکانس طبیعی  اولیه و مد های ارتعاش می بایست محاسبه گردد.

یک تحلیل مدی کامل تاریخچه از پاسخ سازه را  در برابر تاریخچه مشخصی از شتاب زمین، فراهم می آورد که شامل نیروها، جابه‌جایی ها و تغییر مکان ها می شود. از تاریخچه پاسخ به سهولت می توان پاسخ بیشینه را تعیین کرد. در شکل 2مقادیر بیشینه تغییر مکان تراز بام  (u₃(t و برش پایه (v_°(tبرای یک سازه سه طبقه در اثر جنبش زمین نشان داده شده است. 

احتراما سوال و یا درخواست همکاری خود را مطرح فرمایید.(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)

منبع:

دپارتمان سازه سامانه کارگشا