آشنایی با ماتریس میرایی غیر کلاسیک

ماتریس میرایی غیر کلاسیک 

فرض میرایی کلاسیک در صورتی که سیستم مورد نظر ما که می بایست آنالیز شود، از دو قسمت یا بیشتر تشکیل شده باشد، و مقادیر مربوط به میرایی این دو قسمت دارای اختلاف زیادی باشد ، فرض مناسبی نیست. یکی از این مثال ها سیستم خاک و سازه است. در صورتی  که در تحلیل بسیاری از سازه ها، خاک زیرین می تواند به صورت صلب فرض شود، اندرکنش خاک و سازه می بایست در تحلیل سازه های با زمان تناوب بسیار کوتاه، همچون سازه های نگاه دارنده مواد هسته ای همانند شکل 1 مد نظر قرار بگیرد. 

(شکل1-این دو مخزن گنبدی شکل که از بتن مسلح ساخته شده است راکتور های هسته ای نیروگاه سن انفری کالیفرنیا را در خود جای داده است. برای اهداف طراحی زمان تناوب ارتعاش اصلی آن ها 0.15 ثانیه فرض شده است و تراز پایه آن به صورت صلب فرض گردیده است، و این مقدار با در نظر گرفتن انعطاف پذیری خاک برابر 0.5 ثانیه است، این اختلاف فاحش بین زمان های تناوب سازه و خاک زیرین بیانگر اهمیت اثرات اندرکنش خاک و سازه در چنین سیستم هایی است.)

نسبت میرایی برای سیستم خاک معمولا دارای تفاوت عمده ای نسبت به سازه است، به طور مثال مقدار میرایی حدود 15 تا 20 درصد برای ناحیه خاک در مقایسه با مقادیر میرایی 3 تا 5 درصد برای سازه دارای تفاوت چشمگیری است. بنابراین، فرض میرایی کلاسیک برای سیستم ترکیبی خاک و سازه مناسب نیست، اگر چه که برای هر کدام از قسمت های خاک یا سازه به صورت مستقل مناسب است.  

مثال دیگر سد بتنی است که در پشت آن آب ذخیره شده است.(شکل2) میرایی آب نسبت به میرایی سد قابل چشم پوشی است، و میرایی کلاسیک برای مدل سازی سیستم سد و آب مناسب نیست. در صورتی که روش جزء سازه برای تحلیل سیستم های خاک و سازه و یا سیستم های مایع و سازه مناسب است، این سیستم ها همچنین توسط روش های استاندارد تحلیل می شوند که نیازمند تشکیل ماتریس میرایی برای کل سیستم می باشند.

(شکل2-سد ماروپوینت با ارتفاع 140 متر در رودخانه گانیسون کلرادو، که با استفاده از آزمایشات ارتعاش اجباری زمان تناوب اصلی سد در ارتعاش نامتقارن در صورتی که آب ذخیره آن نیمه پر باشد برابر با 0.268 ثانیه و برابر با 0.303 ثانیه در صورتی که آب ذخیره آن پر باشد.  )

 ماترس میرایی برای کل سیستم، توسط ترکیب کردن ماتریس های میرایی برای هر دو جزء سیستم، سازه و خاک در نمونه اول و سد و آب در نمونه دوم تشکیل می شود. همان طور که در شکل 3 نشان داده شده است، ماتریس های سختی و میرایی کل سیستم خاک و سازه از ترکیب کردن ماتریس های متناظر هر یک از جزء سیستم ها تشکیل می شود. قسمتی از این ماتریس ها متناظر با درجات آزادی مشترک در قسمت هم پوشانی بین دو جزء سیستم شامل سهم هر دو سیستم می باشد.

(شکل3-ترکیب ماتریس های جزء سیستم)

 بنابراین تنها قسمتی که برای توضیح باقی می ماند، روش ساخت ماتریس های میرایی برای هر یک از جزء سیستم هاست که فرض می شود که به صورت کلاسیک میرا می شود. 

اساسا، ماتریس های میرایی این جزء سیستم ها می تواند توسط هر یک از روش هایی که درمطالب قبل بیان شد، توضیح داده شود، اما میرایی رایلی ممکن است راحت ترین روش برای تحلیل های عملی باشد. بنابراین ماتریس های میرایی سازه و خاک شالوده(که با زیر اندیس f مشخص می شود) برابرند با:

(معادله1)

ضرائب a₀ و a₁ توسط معادله 2 با استفاده از نسبت میرایی مناسب برای سازه حاصل می شود، حدود ξ=0.05،  که ω_i و ω_j به عنوان فرکانس های مدهای ارتعاش طبیعی i و j سیستم کل بدون میرایی انتخاب می شود. ضرائب a_0f و a_1f به صورت مشابهی تعیین می شوند؛ در صورتی که نسبت میرایی ناحیه خاک و سازه به صورت ξ=0.2 تخمین زده شود این ضرائب 4 برابر بزرگتر خواهند بود.

(معادله2)

فرض میرایی کلاسیک ممکن است برای سازه های دارای سیستم های استهلاک انرژی خاص و یا سیستم های جداساز لرزه‌ای مناسب نباشد، حتی در صورتی که خود سازه دارای میرایی کلاسیک است. میرایی غیر کلاسیک برای این سیستم ها در وحله اول با تعیین ماتریس میرایی کلاسیک c برای سازه تنها(بدون در نظر گرفتن سیستم های خاص) از نسبت های میرایی مناسب برای سازه با توجه به مطلب پیوست تعیین می شود. سپس سهم مشارکت سیستم های استهلاک انرژی برای بدست آوردن ماتریس میرایی کل سیستم با ماتریس c ترکیب می شوند.

در این مطلب و مطالب آتی قصد داریم به تحلیل سیستم های با میرایی غیر کلاسیک بپردازیم، که در بسیاری از مسائل عملی همچون سازه های که درقسمت فوق  بیان کردیم کاربرد دارد. ابتدا به عنوان مقدمه مروری بر تحلیل سیستم های با میرایی کلاسیک خواهیم داشت و سپس به بررسی  تحلیل تاریخچه زمانی سیستم های با میرای غیر کلاسیک تحت اثر تحریکات لرزه ای می پردازیم. در ابتدا تحلیل ارتعاش آزاد مرتبط با پاسخ سازه در اثر ضربه بررسی می شود. سپس روش متداول انتگرال محور برای تعمیم این پاسخ به جنبش زمین دلخواه، استفاده خواهد شد. 

تعریف ریاضی ماتریس های غیر کلاسیک

در صورتی که بخواهیم میرایی را در نظر بگیریم، معادله زیر حاکم بر حرکت سیستم خواهد بود:

معادله 3

هدف ما ان است که که پاسخ (u(t معادله فوق را که شرایط اولیه را اغنا می کند در t=0  بیابیم:

(معادله 3)

روش‌هایی که می بایست به کار گرفته می شود تا پاسخ مورد نظر دست یابد، با توجه به نوع میرایی متفاوت است: میرایی می تواند از نوع کلاسیک یا غیرکلاسیک باشد؛ 

در صورتی که ماتریس میرایی یک سیستم خطی، معادله زیر را اغنا کند:

(معادله4)

تمامی مد های ارتعاش داری مقادیر حقیقی و برابر با مقادیر متناظر سیستم نامیرا هستند و از حل مسئله مشخصه حاصل می شوند. این سیستم ها دارای میرایی کلاسیک هستند زیرا که دارای مدهای طبیعی ارتعاش هستند. 

همان طور که می دانیم هر مجموعه ای از N بردار غیر وابسته می تواند مبنایی برای تعریف هر بردار دیگر با مرتبه N قرار گیرد. بنابراین بسط مدی هر بردار جابه جایی u داریی فرم زیر می باشد:

(معادله5)

که qr ضرائب اسکالر با نام مختصات مدی و یا مختصات نرمال هستند.

با جاگذاری معادله 5 در معادله 1 و در ادامه با پیش ضرب Φ_T خواهیم داشت:

(معادله 1-6 و 2-6 )

که ماتریس های M و K ماتریس های قطری هستند که در مطالب پیشین بررسی شدند و همچنین:

(معادله 7)

برای سیستم های با میرایی کلاسیک، ماتریس مربعی c یک ماتریس قطری است. بنابراین، معادله 6.2 بیانگر N معادله دیفرانسیل غیر همبسته در مختصات مدی q_n می باشد و تحلیل مدی کلاسیک برای چنین سیستم هایی کاربردی است. 

یک سیستم خطی دارای میرایی غیر کلاسیک است در صورتی که ماتریس آن معادله 4 را اغنا نکند. برای چنین سیستم هایی، مدهای طبیعی سیستم دارای مقادیر حقیقی نیستند، ماتریس مربعی c یک ماتریس قطری نخواهد بود، بنابراین نمی توان از تحلیل مدی کلاسیک استفاده کرد. در مطالب آتی حل تحلیلی معادله 3 را برای برای سیستم های با میرایی غیرکلاسیک بررسی خواهیم کرد.

منبع:

«دپارتمان سازه سامانه کارگشا»

دینامیک سازه ها-چوپرا-ویرایش 4

————————————————————————————————————————————–

برای بهره مندی از خدمات محاسبات طراحی سازه‌ها درخواست خود را در لینک زیر ثبت نمایید.

(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)