ارتعاش آزاد ساختمان چند طبقه

پاسخ سازه چند طبقه به ارتعاش آزاد

در مطالب قبل گفتیم که مسئله اساسی دینامیک سازه ها، تعیین پاسخ تغییر مکان ساختمان چند طبقه است که ماتریس‌های جرم، سختی، میرایی و همچنین نیروی محرک آن مشخص می باشد. در این مقاله قصد داریم پاسخ چنین سازه ای را در ارتعاش آزاد بررسی کنیم. 

سازه های نامیرا

در ابتدا ساختمان شکل 1 مطلب پیوست  را بدون میرایی در نظر بگیرید. در صورتی که به جرم های ساختمان تغییرمکان‌ها و سرعت های متفاوتی که به ترتیب با بردارهای(u(0 و (u^·(0 تعیین می شوند، اعمال کرده و سازه را از وضعیت تعادل خود خارج کنیم، سازه حول نقطه تعادل خود نوسان خواهد کرد. این پاسخ سازه به ارتعاش آزاد را می توان با بردار جابه‌جایی وابسته به زمان (u(t تعیین کرد. توصیف ریاضی (u(t توسط حل معادلات حرکت (معادله 16 مطلب پیوست و یا معادله 12 مطلب پیوست بدون ترم میرایی و بدوت تحریک خارجی) بدست می آید. یا به عبارت دیگر  در این دو معادله رابطه زیر می بایست بر قرار باشد:

تغییر مکان های بدست آمده در طبقات یک ساختمان سه طبقه در اثر ارتعاش آزاد به صورت گرافیکی در شکل 1 نشان داده شده است. نمودار تغییر مکان-زمان برای طبقه j ام با ارتفاع از مبدا (u_g(0 و شیب (u^·_g(0 شروع می شود. در این حالت ویژه  (u^·_g(0 برابر با 0 می باشد. بر خلاف آنچه که در شکل 2 مطلب پیوست برای سیستم های تک درجه آزادی مشاهده کردیم حرکت هر یک از جرم های سیستم چند درجه آزادی به صورت حرکت هارمونیک ساده نیست و ما قادر به تعیین فرکانس حرکت نیستیم. 

بیشتر انکه، نه تنها مقادیر جابه‌جایی هرطبقه نسبت به زمان تغییر می کنند، شکل تغییر مکان یافته سازه نیز با زمان تغییر می کند.(مطابق شکل 1) یا به عبارت دیگر نسبت های u₁/u₃ و u₂/u₃ نسبت به زمان تغییر می کند.

(شکل1-ارتعاش آزاد به تغییر مکان اولیه دلخواه)

اگر چه، در صورتی که ارتعاش آزاد سازه توسط آشفتگی های تغییر مکان یا سرعت مناسبی در ارتفاع ساختمان به وجود بیاید، سازه نامیرا چند طبقه، دارای جنبشی به صورت هارمونیک ساده، بدون اینکه شکل تغییر مکان یافته آن تغییر کند، خواهد بود. 

همان طور که در شکل 2 نشان داده شده است، سه شکل تغییر مکان مشخصه برای یک ساختمان سه طبقه با مدل ایده ال وجود دارد، به گونه ای که اگر سازه به هر کدام از شکل های نشان داده شده، تغییر مکان یافته و رها شود، سازه به صورت جنبش هارمونیک ارتعاش خواهد کرد، که در این ارتعاشات سازه شکل تغییر مکان یافته اولیه خود را حفظ خواهد کرد. 

(شکل2 الف-ارتعاش آزاد در مدهای طبیعی نوسان)

(شکل2 ب-ارتعاش آزاد در مدهای طبیعی نوسان)

(شکل2ج-ارتعاش آزاد در مدهای طبیعی نوسان)

زمان تناوب ارتعاش (T) سیستم زمان مورد نیاز برای طی  یک سیکل از حرکت ارتعاش آزاد به یکی از شکل های تغییر مکان مشخصه که به هر یک از آن ها مد طبیعی ارتعاش سازه اطلاق می شود، می باشد. فرکانس زاویه ای طبیعی متناظر ω است که:

(1)

و فرکانس تناوبی طبیعی برابر با:

(2)

شکل 2 نشان می دهد که، سه زمان تناوب T_n که (n=1,2,3) ،ساختمان سه طبقه که در مدهای طبیعی خود نوسان می کند توسط بردار های Φ_n تعیین می شوند.

کوچکترین فرکانس زاویه ای ω₁ نام دارد، بزرگترین آن ω₃ و فرکانس دیگری که اندازه ای بین این دو مقدار دارد، ω₂ نام دارد. متناظرا طولانی ترین زمان تناوب طبیعیT₁ ، کوتاه ترین زمان تناوب T₃ و زمان تناوب حد وسط دیگر T₂ نام دارد.

بردار  Φ_n تنها، شکل تغییر مکان یافته سازه که در n امین مد طبیعی خود ارتعاش می کند، را مشخص می کند. به عبارت دیگر تغییر مکان های طبقات v₁ و  v₂ و v₃ را تعیین نکرده و تنها نسبت های آن ها را به طور مثال v₁/v₃  و v₂/v₃ را مشخص می کند. مد ارتعاش می تواند با ضرب هر مقدار دلخواه در بردار Φ_n نرمال شود. به طور مثال، این ضریب می تواند به گونه ای تعیین شود که بردار نرمال شدهΦ_n دارای مقدار واحد در طبقه فوقانی باشد. ممکن است که مد ها به سادگی برای سهولت محاسبات نرمال شوند. و این مسئله که آن ها به چه صورتی نرمال می شوند برنتیجه نهایی تحلیل پاسخ دینامیکی سازه تاثیری نخواهد داشت.   

یک ساختمان ایده آل N طبقه دارای N فرکانس زاویه ای طبیعی ω_n که  (n=1,2,…,N) متناظر با زمان های تناوب T_n، و مدهای طبیعی ارتعاش  Φ_n می باشد.

از واژه طبیعی برای هر یک از کمیت های ارتعاش به این دلیل استفاده می شود که نشان دهد که هنگامی که به سازه اجازه داده می شود تا بدون تحریک خارجی نوسان کند، این کمیت ها ویژگی های طبیعی سازه هستند، و وابسته به جرم وسختی سازه می باشند.

به کمیتω_n، در مبحث ارتعاشات n امین فرکانس زاویه ای طبیعی ارتعاش ،  T_n  نیز n امین زمان تناوب طبیعی ارتعاش، و به طور مشابه  Φ_n نیز n امین مد طبیعی ارتعاش اطلاق می شود. 

به مقادیر ω₁ و T₁ و Φ₁ به ترتیب به عنوان فرکانس، زمان تناوب و مد ارتعاش اصلی سازه اطلاق می شود. 

سازه های میرا

یک سازه میرا شونده ایده آل چند طبقه را در نظر بگیرید که توسط جابه‌جایی در مد طبیعی ارتعاش متناظر با سازه نامیرا، (سازه ای با مشخصات سختی و جرم یکسان اما بدون میرایی) از وضعیت تعادل خود خارج شود. برای حالت های مشخصی از میرایی که مدل های منطقی برای بسیاری از ساختمان ها محسوب می شوند، در حین ارتعاش آزاد شکل تغییر مکان یافته اولیه حفظ خواهد شد و حرکت هر کدام از طبقات مشابه با سازه نامیرای شکل 2 خواهد بود؛ با این تفاوت که، به دلیل میرایی مشابه با شکل 3 مطلب پیوست دامنه حرکت در هر طبقه در هر سیکل از ارتعاش کاهش خواهد یافت. زمان تناوب T_nD، فرکانس زاویه ای ω_nD، و فرکانس تناوبی f_nD، و n مین مد ارتعاش سازه میرا به صورت مشابه با سازه نامیرا به یکدیگر ارتباط دارند. تاثیر میرایی بر فرکانس و زمان تناوب طبیعی ارتعاش سازه چند طبقه مشابه با سیستم تک درجه آزادی خواهد بود.(معادلات 7 و 8 مطلب پیوست)

بنابراین خواهیم داشت:

(3)

(4)

که ξ_n نسبت میرایی ساختمان چند طبقه در مد طبیعی n ام ارتعاش خود خواهد بود. اگر چه که برای نسبت میرایی کوچکتر از 0.2، بازه ای که شامل اکثریت سازه ها می شود، اثرات میرایی بر روی فرکانس طبیعی سازه قابل اغماض خواهد بود.(شکل4 مطلب پیوست). بنابراین، فرکانس های طبیعی و مد های ارتعاش سازه می تواند با فرض سازه نامیرا محاسبه شوند.

تهیه و تنظیم:

«دپارتمان سازه سامانه کارگشا»

احتراما سوال و یا درخواست همکاری خود را مطرح فرمایید.(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)