طراحی بهینه سازه با روش ذرات مرتعش

 الگوریتم سیستم ذرات مرتعش 

در مقالات قبل بر فیزیک حاکم بر روش بهینه سازی فرا کاوشی که از ارتعاش آزاد یک سیستم تک درجه آزادی با میراگر ویسکوز الهام می گیرد آشنا شدیم. در این مقاله قصد داریم به روند حاکم بر عملکرد این الگوریتم بهینه سازی کارامد بپردازیم.

الگوریتم سیستم ذرات مرتعش یک الگوریتم جمعیت محور است که ارتعاش آزاد یک سیستم تک درجه آزادی را همراه با ویراگر ویسکوز شبیه سازی می کند. همانند سایر روش های چند عاملی، روش سیستم ذرات مرتعش شامل تعدادی از واحد ها یا همان ذرات است که شامل تعدادی از  متغیر های طراحی هستند. کاندیداهای حل به تدریج به وضعیت تعادلی خود نزدیک می شوند که این مهم با استفاده از  جمعیت تکرار فعلی و بهترین موقعیت ثبت شده در تاریخچه حل برای دستیابی به تنوع بخشی و تشدید سازی مناسب ، استفاده می شود. در روش ذرات مرتعش، موقعیت ابتدایی ذرات به صورت تصادفی از یک فضای جستجوی n بعدی حاصل می شود. 

(1)

که x_i^j برابر با jامین متغیر از ذره i می باشد. x_min و x_max  بردار های حداقل و حداکثر مجاز مقادیر متغیر ها هستند. rand  یک بردار تصادفی است که به صورت یکنواخت دربازه بین 0 و 1 توزیع شده است. 

برای هر ذره، معادله تعادل با وزن های متفاوت تعریف می شود، و در هر تولید موقعیت ذره توسط سه عامل زیر به روز رسانی می شود. 

1-    بهترین موقعیت کل جمعیت در تاریخچه حل.

2-    ذره مناسب.(ذره خوب)(good particle)

3-    ذره نا مناسب.(ذره بد)(bad particle)

برای اتنخاب ذره مناسب و نامناسب برای کاندیدای حل، جمعیت فعلی بر اساس مقادیر تابع هدشان به صورت صعودی طبقه بندی می شوند و ذره مناسب و ذره نامناسب به صورت تصادفی به ترتیب از نیمه اول و نیمه دوم انتخاب می شود. 

برای شبیه سازی اثر ات میرایی در ارتعاش که در شکل زیر قابل مشاهده است، یک تابع نزولی تابعی از  تعداد تکرار ها در روش ذرات مرتعش تعریف شده است که معادله آن در قسمت تحتانی شکل بیان شده است.

(شکل1 )

(2)

در این معادله iter شماره تکرار فعلی و iter_max تعداد کل تکرار های روند بهینه سازی است. در این معادله α  یک ثابت می باشد.

بر اساس مفهوم فوق، قوانین به روز رسانی در روش ذرات مرتعش به صورت زیر تعریف می شود:

(3،4،5)

که x_i^j برابر با j امین متغیر از i امین ذره است . ω₁ و ω₂ و ω₃ پارامترهایی هستند که به ترتیب اهمیت نسبی، بهترین جواب، جواب مناسب و جواب نا مناسب را اندازه می گیرند. rand3، rand 2، rand1  عدد های تصادفی در بازه بسته 0 و 1 هستند. اثرات پارامتر های  A و D  در معادله 3 شبیه به اثر ρ و e^-ξω_nt در معادله زیر که حل معادله حرکت سیستم تک درجه آزادی میرا است، می باشد.

(6)

همچنین، مقدار (sin(ωDt+Φ در معادله 3 برابر واحد در نظر گرفته شده است. معادله زیر در شکل قرار گرفته در پایین معادله  به صورت خطوط قرمز نشان داده شده است. 

(7)

(شکل 2)

با هدف افزایش سرعت همگرایی در روش ذرات مرتعش، اثر ذره نامناسب بعضا در به روز رسانی رابطه موقعیت ذرات در نظر گرفته می شود. بنابراین، برای هر ذره، پارامتر p در بازه (0,1) تعیین می شود و با rand که یک عدد تصادفی که به صورت یکنواخت در بازه بسته 0 و 1 می باشد ، مقایسه می شود. و در صورتی که p>rand باشد بنابراین ω₃=0 و ω₂=1-ω₁ خواهد بود.

هنگامی که یک ذره به موقعیت جدید خود حرکت می کند، امکان تخطی از حدود مرزی آن وجود خواهد داشت. در الگوریتم ارئه شده، برای کنترل قیود مرزی روشی بر اساس قواعد هارمونیک استفاده شده است. در این تکنیک، احتمالی همچون نرخ حافظه هارمونیک وجود دارد که مشخص می کند که آیا مولفه ای که از قیود تخطی کرده است می بایست با مولفه نظیر از بهترین جواب تاریخچه حل  تغییر یابد و یا می بایست به صورت تصادفی در فضای حل تعیین شود. علاوه بر آن، اگر مولفه بهترین موقعیت تاریخچه مشخص گردد، احتمالی همچون نرخ تنظیم کوک وجود دارد که مشخص می کند که آیا این مقدار باید با مقادیر همسایگی تغییر یابد یا خیر.

در مطالعه مد نظر، پس از رسیدن به تعداد از پیش تعیین شده ای از تحلیل ها، روند بهینه سازی خاتمه می یابد. اگرچه، که هر شرایط خاتمه دیگری نیز می تواند استفاده شود. نمودار جریان روش سیستم ذرات مرتعش در شکل زیر قابل مشاهده است. 

(شکل 3)

مسئله نمونه و نتایج بهینه سازی

در این قسمت مثال محاسباتی برای بررسی عملکرد الگوریتم ارائه شده عنوان می شود. مقادیر اندازه جمعیت، تعداد کل تکرار ها،  ω₂، ω₁، ρ، α  برابر 20، 1500، 0.05، 70%، 0.3 و 0.3 به ترتیب  برای مثال استفاده شده است. حساسیت روش ذرات مرتعش بر روی این پارامتر ها در مقالات بررسی شده است. 20 اجرای مستقل برای این مثال انجام گرفته است. الگوریتم در نرم افزار MATLAB  کدنویسی شده است و سازه بر اساس کد نویس با روش سختی مستقیم تحلیل شده است. 

خرپای مسطح 10 عضوی

خرپای مسطح 10 عضوی به عنوان  یک بنچ مارک شناخته شده است که شکل زیر هندسه، و شمارش گره ها و اعضای این خرپا را نشان می دهد.

(شکل 4)

سطح مقطع هر یک از اعضا به عنوان یک متغیر مستقل در نظر گرفته شده است. چگالی ماده 2767.99 kg/cm³ و مدول الاستیسیته برابر 68.95 GPa برای تمامی المان ها در نظر گرفته می شود. به تمامی گره های آزاد (1-4) جرم غیر سازه ای برابر 453.6 kg متصل شده است. بازه سطوح مقطع المان ها برابر 0.645 تا 50 cm_² در نظر گرفته می شود. سه فرکانس اول سازه می بایست حدود زیر را اغنا کند.

(8)

جدول زیر مقایسه ای را بین طرح های بهینه گزارش شده در مقالات و مطالعه جاری انجام داده است.

(جدول 1)

مشاهده می شود که کمترین وزن برابر 530.77 kg و بهترین انحراف استاندارد بر روی میانگین برابر 2.55 kg توسط روش ذرات مرتعش حاصل شده است. الگوریتم کرم شب تاب بهترین وزن میانگین بهینه را برابر با 535.07kg  بدست آورده است و پس از ان عدد حاصل برای روش مورد بحث ما برابر 535.64kg می باشد.

جدول زیر فرکانس های طبیعی سازه بهینه را گزارش می کند و مشخص است که از هیچ یک از قیود فرکانس تخطی نشده است.

(جدول 2)

روش ذرات مرتعش پس از 4620 تحلیل به حل بهینه همگرا می شود. روش جاری به بهترین طرح روش ازدحام ذرات پس از 940 تکرار می دست پیدا می کند. 

منبع:

کتاب بهینه سازی به روش اجسام برخور کننده، دکتر علی کاوه، مهندس مهدوی، انتشارات اشپرینگر

الگوریتم سیستم ذرات مرتعش برای بهینه سازی خرپا با قید های فرکانس طبیعی متعدد، ژورنال اشپرینگر، شماره 07-016-1725

دپارتمان سازه سامانه کارگشا