نحوه محاسبه مرکز ثقل اجسام، مراکز سطوح و خطوط با فرمول های ریاضی

مرکز ثقل یک دستگاه از ذرات، در فیزیک، نقطهٔ مشخصی است که در بسیاری از مسائل سیستم طوری رفتار می کند که گویی همه جرم آن در آن نقطه متمرکز است. در مقاله زیر مفاهیمی همچون مرکز جرم، مرکز سطح و مرکز خط اشکال توضیح داده شده است.

تعریف و روابط مرکز ثقل جسم دو بعدی 

مطابق شکل زیر یک صفحه افقی را در نظر بگیرید. می توانیم این صفحه را به n المان کوچک تبدیل کنیم. مختصات المان اول با x₁  و y₁ و در المان دوم با x₂ و y₂ مشخص شده است. نیروهایی که توسط زمین به المان های صفحه اعمال می شود با Δw₃، Δw₂ ، Δw₁ ،… وΔw_n نشان داده می شود. این نیروها یا همان وزن ها به سمت مرکز زمین می باشد؛ اگر چه برای اهدف طراحی می توان آن ها را به صورت موازی در نظر گرفت. بنا براین بر آیند آن ها یک نیروی واحد یا همان راستای نیروهای پایه است. اندازه این نیرو یا W توسط جمع اندازه ی اوزان المان ها بدست می آید.

برای محاسبه مختصات x و y نقطه G که نیروی برآیند W  می بایست به آنجا اعمال شود، می توان نوشت که ممان های نیروی W حول محور های y و x برابر با جمع ممان های حاصل از نیروی تمامی المان های جسم است.

اگر تعداد المان ها را از تعدادی المان هایی که در این مرحله صفحه را تقسیم بندی کردیم افزایش دهیم و به طور هم زمان اندازه ی هر المان را کاهش دهیم، در حالت حدی به معادلات زیر می رسیم:

این معادلات، وزن W و مختصات متناظر مرکز گرانش (ثقل) نشان می دهد. معادلات یکسانی برای یک سیم که در صفحه xy قرار گرفته است، مطابق شکل زیر حاصل می شود. باید دقت شود که مرکز ثقل G سیم به طور معمول در خود سیم قرار نگرفته است.

نحوه به دست آودن مرکز جرم سطوح و خطوط

در حالتی که یک صفحه با ضخامت یکنواخت داشته باشیم، اندازه Δw وزن یک المان صفحه را می توان به صورت زیرنشان داد:

که  γ وزن مخصوص یا(وزن واحد حجم) ماده است. tضخامت صفحه است. و ΔA مساحت المان است.

به طور مشابه، می توان وزن صفحه که اندازه W است را با به این صورت نشان داد:

که A سطح کل ورق است.

با جاگذاری Δw و w در معادلات ممان بالا و حذف γt، داریم:

اگر تعداد المان ها یی که سطح A را تقسیم کرده اند افزایش دهیم و به طور هم زمان اندازه هر المان را کاهش دهیم، در حالت حدی داریم:

این معادلات مختصات x و y مرکز ثقل یک ورق همگن را تعیین می کنند. نقطه ای که مختصات آن با xو y مشخص می شود، به عنوان مرکز سطح C سطح A  ورق نیز شناخته می شود. شکل زیر در صورتی که ورق همگن نباشد، با این معادلات نمی توان مرکز گرانش (مرکز ثقل)  ورق را تعیین کرد. اما آن ها هم چنان مرکز سطح را نشان می دهند.

در صورتی که یک سیم همگن با سطح جانبی یکنواخت داشته باشیم، اندازه Δw وزن المان سیم را می توان به صورت زیر نشان داد:

که γ وزن مخصوص ماده، a مساحت سطح جانبی سیم، ΔL طول المان است. 

مطابق  شکل زیر، مرکز ثقل سیم با مرکز عضو خطی L سیم  (C) تطابق داشته و مختصات x و y مرکز خط L از معادلات زیر بدست می آید.

منابع:

vector mechanics for engineers- statics and dynamics-Ferdinand P beer
engineering mechanics-statics-J L meriam