دینامیک سازه ها، پاسخ سازه در برابر زلزله

پاسخ  به جنبش زمین ناشی از زلزله

در مقالات قبل پاسخ سازه در اثر نیروهای ذاتی موجود در سیستم(ارتعاش آزاد) و در اثر نیروهای خارجی(ارتعاش اجباری) را بررسی کردیم.در این مقاله به مطالعه پاسخ سازه  هنگامی که در معرض جنبش زمین ناشی از زلزله قرار گرفته باشد، می پردازیم. 

تاریخچه پاسخ

 معادله 1 که می تواند به صورتی مطابق با معادله 2 بازنویسی شود، معادله حاکم بر حرکت سازه یک طبقه، در معرض جنبش زمین ناشی از زلزله (شکل 1) می باشد.

(1)

(2)

(شکل 1-سازه یک طبقه در معرض جنبش زمین ناشی از زلزله)

حل این معادله، پاسخ تغییر مکان سازه (u(t را  نتیجه می دهد که این پاسخ وابسته به عوامل زیر است:

1-    ویژگی های شتاب زمین (u^··_g(t.

2-    ω فرکانس دایروی(زاویه ای ) طبیعی ارتعاش(و یا زمان تناوب طبیعی ارتعاش T) سازه نامیرا.

3-    نسبت میرایی(نسبت تواتر) سازه ξ.

حل معادله 2 به صورت زیر می باشد:

(3)

که ω_D فرکانس دایروی طبیعی ارتعاش سازه میرا می باشد. برای تابع شتاب زمین مشخص (u^··_g(t و مشخصات سیستم ω (یا T) و  ξ، انتگرال دوهامل معادله 3 می تواند تاریخچه پاسخ تغییر مکان (u(t را فراهم سازد. شتاب های ناشی از زلزله به صورت نامنظم تغییر می کند، تا ان جا که گزینه ارزیابی تحلیلی این انتگرال حذف می شود. از میان روش های موجود، روش های عددی که توسط کامپیوتر ها به کارگرفته می شوند، دارای بیشترین کاربرد می باشند.

 شتاب نگاشت های زلزله به صورت رقومی در می آید و به طرز مناسبی برای کنترل خطاهای شتاب نگاشت پالایش شده و خطوط تحریف مشخص شده و اصلاح مبدل شتاب نگار معرفی شده تا شتاب نگاشت تصحیح شده زمین بدست بیاید. سپس تابع  (u^··_g(t  در معادلات2 و 3 توسط آرایش عددی شتاب نگاشت تصحیح شده در بازه های زمانی که به اندازه کافی برای تعیین دقیق شتاب نگاشت نزدیک به هم هستند، تعیین می شود. در برنامه اطلاعات جنبش قوی زمین، موسسه تکنولوژی کالیفرنیا(caltech) شتاب نگاشت های تصحیح شده در بازه های زمانی 0.02 ثانیه تعیین می شوند. 

در صورتی که شتاب زمین  (u^··_g(tاز این روش حاصل شود و مقادیر عددی ω  و ξ سازه در معادله 3 جاگذاری شود، تاریخچه پاسخ توسط حل عددی انتگرال دوهامل می تواند تعیین شود. 

اگر چه که روش متداول دیگر، حل مستقیم معادله حرکت(معادله 2) توسط روش های عددی است. که برای دستیابی به این هدف روش های متعددی به وجود آمده اند. 

هنگامی که هر دو روش به طرز صحیحی به کار بسته شود، ارزیابی عددی انتگرال دوهامل و یا حل عددی معادله حرکت، نتایج یکسانی را ارائه می دهد. 

شکل 2 نتایج چنین محاسباتی را برای 3 سازه در معرض جنبش یکسان زمین نشان می دهد. نسب میرایی برای هر سه سازه یکسان است.ξ=2% ، بنابراین تفاوت در پاسخ های تغییر مکان هر سازه، متناظر با زمان تناوب طبیعی ارتعاش آن هاست. زمانی مورد نیاز سازه برای تکمیل یک سیکل از ارتعاش در پاسخ به زلزله های معمول بسیار نزدیک به زمان تناوب طبیعی ارتعاش سازه است. 

(شکل2-محاسبه طیف پاسخ جابه‌جایی)

برای سایر مقادیر پاسخ نیز، همچون سرعت نسبی (u^·(t، و شتاب کل (u^··t(t  می توان روابط ریاضی مربوطه را تعیین نمود.

هنگامی که تاریخچه پاسخ تغییر مکان (u(t حاصل گردید، با معرفی موضوع نیروی جانبی معادل می توان به سهولت برش و ممان خمشی را در تراز پایه ساختمان تعیین نمود. بنابراین، در هر لحظه از زمان نیروی جانبی معادل برابر با رابطه زیر است:

(4)

که می تواند بر حسب جرم به صورت زیر تعیین شود:

(5)

برش پایه V_º و لنگر واژگونی (لنگر پایه) M_ºمی تواند، توسط تحلیل استاتیکی سازه تحت اثر بار جانبی معادل تعیین شود. 

(6)

(7)

که h برابر با ارتفاع سقف قرار گرفته در بالای تراز پایه است. پس از جاگذاری معادله5 ، برش پایه و لنگر واژگونی می تواند به صورت زیر تعیین شود:

(8)

(9)

طیف پاسخ

تاریخچه کاملی از هر یک از کمیت های پاسخ، شامل تغییر شکل، سرعت، شتاب، برش پایه، لنگر واژگونی، می تواند توسط روش های عددی ذکر شده در قسمت فوق بدست آید. اگر چه که برای مقاصد طراحی، تنها کافیست تا از مقادیر بیشینه پاسخ در اثر زلزله اطلاع داشت. زیر اندیس max معمولا برای بیان مقادیر بیشینه پاسخ بدون توجه به علامت جبری استفاده می شود. بنابراین برای هر یک از مقادیر پاسخ r ، خواهیم داشت.

(10)

یک نمودار از مقادیر بیشینه پاسخ به عنوان تابعی از فرکانس ارتعاش طبیعی، و یا به عنوان تابعی از کمیتی همچون زمان تناوب طبیعی که مرتبط با فرکانس است، طیف پاسخ را برای کمیت مورد نظر تشکیل می دهد. طیف پاسخ تغییر شکل(یا جابه جایی) چنین نموداری است که بیانگر کمیت S_d که به صورت زیر تعریف می شود، می باشد. 

(11)

شکل 2 نشان دهنده موضوع اصلی حاکم بر محاسبه طیف پاسخ تغییر شکل می باشد. در این شکل، تغییرات زمان پاسخ  تغییر شکل 3 سازه در معرض زلزله انتخابی نشان داده شده است. برای هر سازه مقدار بیشینه پاسخ در هنگام زلزله، بدون در نظر گرفتن علامت جبری، از تاریخچه پاسخ آن مشخص می شود. مقدار u_max که برای هر سازه مشخص می شود، یک نقطه از طیف پاسخ تغییر شکل را تشکیل می دهد. تکرار چنین محاسباتی  برای بازه ای از مقادیر T ، در صورتی که مقادیر ξ ثابت در نظر گرفته شده باشد، طیف پاسخ تغییر شکل را برای جنبش زمین فراهم می سازد. یک طیف پاسخ کامل شامل نمودار های طیف برای مقادیر متفاوت میرایی است. 

به صورت جایگزین، ممکن است تغییر شکل بیشینه بر حسب کمیت  S_v به صورت زیر تعیین شود:

(12)

معادل با:

(13)

که ω فرکانس دایروی طبیعی ارتعاش سازه و T زمان تناوب ارتعاش طبیعی سازه است. کمیت S_v دارای یکای سرعت بوده و با معادله زیر به انرژی کرنشی بیشینه E_max که در هنگام زلزله در سازه ذخیره می شود مرتبط است:

(14)

که به صورت زیر بدست می آید:

(15)

طیف پاسخ شبه-سرعت نمودار S_v به صورت تابعی از فرکانس طبیعی یا زمان تناوب ارتعاش سیستم می باشد.(واژگان «شبه سرعت» به این دلیل به کار رفته است تا بر این مهم تاکید شود که این طیف مشابه با طیف پاسخ سرعت نسبی نیست. زیرا که طیف پاسخ سرعت نسبی نمودار  u^·_max(مقدار بیشینه (u^·(t برای سیستم تک درجه آزادی هنگام زلزله)به عنوان تابع فرکانس طبیعی یا زمان تناوب ارتعاش سیستم می باشد.) 

برای جنبش زمین نشان داده شده در شکل 2، کمیت S_v متناظر با زمان تناوب دلخواه T با استفاده از معادله 13 و مقادیر S_d برای زمان تناوب یکسان تعیین شود و به صورتی که در شکل 2 نشان داده شده و در شکل 3a ترسیم شده، محاسبه شود. مقادیر بدست آمده برای S_v در شکل 3b به عنوان تابعی از زمان تناوب T، برای مقادیر ثابت نسبت میرایی به عنوان طیف پاسخ شبه سرعت برای جنبش زمین بدست آمده است. 

معیار ساده دیگر برای اندازه گیری تغییر شکل بیشینه کمیت S_a است، که به صورت زیر تعریف می شود:

(16)

معادل با:

(17)

کمیت S_a دارای یکای شتاب است و با معادله زیر به مقدار بیشینه برش پایه مرتبط است.

(18)

برش پایه بیشینه ممکن است به صورت زیر نگارش شود:

(19)

که W وزن سیستم است و g شتاب ثقل است. هنگامی که به این صورت نگارش می شود، S_a/g می تواند به صورت ضریب برش پایه در آیین نامه ها تعبیر شود. طیف پاسخ شبه شتاب نمودار S_a به عنوان تابعی از فرکانس طبیعی و یا زمان تناوب ارتعاش سیستم می باشد. (کلمه «شبه شتاب» به این علت استفاده شده است تا بیان گر تفاوت این طیف از طیف پاشخ شتاب مطلق باشد.)

برای جنبش زمین نشان داده شده در شکل 2، مقادیر Sa متناظر با هر مقدار دلخواه T می تواند با استفاده از معادله 17 و مقادیر S_d برای همان زمان تناوب تعیین شود و مطابق با شکل 2 و نمودار 3a محاسبه شود. مقادیر بدست آمده برای S_a در شکل 3c به عنوان تابعی از زمان تناوب T برای مقدار ثابت نسبت میرایی ترسیم شده تا بتوان از آن به عنوان طیف پاسخ شبه شتاب برای جنبش زمین نشان داده شده در شکل 2 اطلاق کرد. 

(شکل3-  طیف های پاسخ a تغییر شکل- b شبه سرعت –  c شبه شتاب- زلزله El Centro – مولفه S00^ºE-میرایی 2 درصد )

طیف پاسخ تغییر شکل، شبه سرعت، و شبه شتاب برای یک جنبش زمین با روابط 16 و 17 به یکدیگر وابسته هستند. هر یک از این طیف ها می تواند توسط یکی از دو طیف دیگر بدست بیاید، و هر کدام از طیف ها داری نتایج یکسانی است. هر یک از این سه طیف روش متفاوتی برای بیان اطلاعات یکسانی از پاسخ سازه است. 

پاسخ بیشینه یک سازه یک طبقه با زمان تناوب مشخص T (یا فرکانس دایروی ω یا فرکانس نوسانی f) و نسبت میرایی ξ به جنبش زمین ناشی از زلزله ای که طیف پاسخ آن در دسترس است می تواند به سادگی بدون نیاز به محاسبه تاریخچه پاسخ، تعیین شود. تغییر مکان بیشینه با ارتفاع طیف پاسخ با استفاده از روابط زیر تعیین می شود:

(20)

ویا

(21)

به صورت مشابه، بیشینه برش پایه:

(22)

لنگر واژگونی بیشینه با استفاده از معادله زیر با برش پایه مرتبط است:

(23)

دپارتمان سازه سامانه کارگشا

احتراما سوال و یا درخواست همکاری خود را مطرح فرمایید.(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)