ماتریس میرایی کلاسیک، میرایی کوشی

میرایی کوشی

اگر بخواهیم تا نسبت های میرایی را برای بیشتر از دو مد تعیین کنیم، نیاز داریم تا حالت عمومی ماتریس میرایی کلاسیک را در نظر بگیریم که به آن میرایی میرایی کوشی اطلاق می شود. 

معادله 1

که N تعداد درجات درجات آزادی موجود در سیستم است و a₁ ثابت‌های رابطه هستند. سه قسمت اول رابطه به صورت زیر است:

معادله 2

بنابراین معادله 1 تنها با در نظر گرفتن دو پارامتر  اول مشابه با میرایی رایلی است. فرض شود که نیاز داریم تا نسبت های میرایی را برای j مد از یک سیستم N  درجه آزادی حساب کنیم. بنابراین نیاز داریم تا j پارامتر را در سری کوشی تعریف کنیم؛ این پارامتر های می تواند j پارامتر دلخواه از N پارامتر معادله 1 باشد. در صورتی که j ترم اول را در نظر بگیریم:

معادله 3

و نسبت میرایی مدی ξ_n به صورت زیر محاسبه می شود:

معادله 4

ضرائب a_l می تواند از نسبت های میرایی بدست آمده در j مد دلخواه تعیین شود. در صورتی که j مد اول مد نظر قرار گیرد با حل j معادله جبری نسبت به مجهول a_l، که l=0,…,j-1 ،این ضرائب تعیین می شود. با تعیین ضرائب a_l، ماتریس میرایی c برای معادله 3 تعیین می شود و نسبت های میرایی برای مد های
n=j+1, j+2,…, N توسط معادله 4 حاصل می شود. پیشنهاد می شود تا  نسبتهای میرایی محاسبه شود تا از معتبر بودن مقادیر آن اطمینان حاصل شود. 

برای نشان دادن این مهم، نتایج یک مثال سازه ای را بیان می کنیم که برای آن نسبت های میرایی یکسانی ξ=5% برای  4 مد ابتدایی آن تعیین شده است.  4 پارامتر اول معادله 4 لحاظ می شود، و مقادیر a_l همان گونه که در قسمت بالا توضیح داده شد بدست می آید و با جاگذاری در معادله 4 نسبت های میرایی به صورت تابعی از فرکانس تعیین می گردند.

همان گونه که در شکل 1 ترسیم شده است، این نتایج نشان می دهد که نسبت ها میرایی در بازه فرکانس ω1 تا ω₄ نزدیک به مقدار ξ مورد نظر(مقدار اندکی کوچکتر و یابزرگتر)، باقی می ماند. و در 4 فرکانس طبیعی اول دقیقا برابر با مقدار ξ می باشد، اما با روند یکنواختی در فرکانس های بالاتر از ω₄ افزایش می یابد. در نتیجه، تاثیر پاسخ در مد های بالاتر کمتر است، تا نقطه ای که فراتر از آن اثرات این مدها ضرورتا حذف می شود.

از سوی دیگر، هنگامی که نسبت میرایی تنها برای 3 مد اول در نظر گرفته شوند، روند محاسباتی یکسان منتج به نسبت های میرایی نزدیک به مقدار مورد نظر ξ در بازه فرکانس ω₁  تا ω₃  می شود، اما به صورت یکنواختی برای مد های بالاتر از مد سوم کاهش می یابد، تا نهایتا به ناحیه با مقادیر متناظر منفی وارد شود. این نتایج صراحتا با واقعیت تطابق ندارد زیرا که بیان می کند که پدیده ارتعاش آزاد با گذشت زمان توسعه می یابد  به جای آن که از مقدار آن کاسته شود.

(شکل1)

به طور خلاصه، میرایی کوشی می بایست به گونه ای تعیین شود نسبت های میرایی مدی برای تمامی مدهایی که تاثیر به سزایی در مقادیر پاسخ دارند،  نزدیک به مقادیر مورد نظر  ξ باشند، و هیچ یک از مقادیر ξ_n منفی نشود. 

با وجود آن که ماتریس میرایی کلاسیک عمومی که توسط معادله 3 تعیین می شود، تعیین نسب های میرایی را برای هر تعداد دلخواه از مدها ممکن می سازد، اما دو مشکل در ارتباط با استفاده از آن وجود دارد. اول آن که، معادلات جبری دارای شرایط مناسب نیستند، زیرا که ضرائب ω^-1_n، ω_n، ω³_n، ω⁵_n با توجه به مرتبه مقادیر آن ها می تواند تغییر کند. مشکل دوم ، درصورتی که بیش از دو پارامتر در سری کوشی در نظر گرفته شود، c یک ماتریس کامل است، در صورتی که k یک ماتریس نواری است و برای یک سیستم با جرم های متمرکز m یک ماتریس قطری است. از انجا که زمان آنالیز کامپیوتری برای تحلیل سیستم های بزرگ در صورتی که ماتریس میرایی از نوع نواری نباشد، بسیار افزایش می یابد، در محاسبات عملی اغلب ماتریس رایلی در نظر گرفته می شود.   

برهم نهی ماتریس های میرایی مدی

یک روش جایگزین برای تعیین ماتریس میرایی کلاسیک می تواند با استفاده از معادله زیر تعیین شود:

(معادله5)

که c یک ماتریس قطری است، که n امین المان قطری آن برابر با میرایی مدی تعمیم یافته است:

(معادله6)

که ξ_n مطابق با مطلب پیوست توصیف شد،  C از معادله 6 تعیین می شود و معادله 5 می تواند به صورت زیر بازنویسی شود:

(معادله7)

استفاده از این معادله برای محاسبه c ممکن است که در ابتدا یک روند غیر کاربردی به نظر برسد، به این دلیلی که نیاز به معکوس کردن دو ماتریس مرتبه N( تعداد درجات آزادی)، می باشد. اگر چه که معکوس کردن ماتریس مدی Φ و Φ^T می تواند با کمترین محاسبات به دلیل ویژگی های تعامد مدی، تعیین شود.

در ابتدا با استفاده از رابطه تعامد مد ها :

(معادله8)

می توان نشان داد که:

(معادله9)

به این دلیل که M یک ماتریس قطری از جرم های مدی تعمیم یافته M_n می باشد، M^-1 به سرعت به صورت یک ماتریس قطری با المان هایی برابر با 1-^M_n تعیین می شود. بنابراین ^1-Φو ^1-(ΦT) می تواند به صورت کارامدی توسط معادله 9 تعیین شود:

با جاگذاری معادله 9 در معادله 7 خواهیم داشت:

(معادله10)

از ان جا که ماتریس های  M و C ماتریس های قطری هستند که به ترتیب توسط معادلات 8 و 5 تعیین می شوند، معادله 10 می تواند به صورت زیر نشان داده شود:

(معادله11)

n امین ترم از این سری تاثیر مد nام همراه با نسبت میرایی متناظر ξ_n بر ماتریس میرایی c است؛ در صورتی که این ترم به حساب نیاید، c حاصل شده میرایی برابر با 0 را در مد n ام نتیجه می دهد. معقول است  که در معادله 11 تنهاj مد اول که انتظار می رود تا به طور چشمگیری در پاسخ تاثیر داشته باشند، در نظر گرفته شوند. 

منبع:

«دپارتمان سازه سامانه کارگشا»

دینامیک سازه ها-چوپرا-ویرایش 4

————————————————————————————————————————————–

برای بهره مندی از خدمات محاسبات طراحی سازه‌ها درخواست خود را در لینک زیر ثبت نمایید.

(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)