ماتریس میرایی کلاسیک، میرایی رایلی

تشکیل ماتریس میرایی

ماتریس میرایی

ماتریس میرایی برای سازه های واقعی نباید از ابعاد سازه ای، اندازه های المان های سازه، میرایی مصالح سازه ای استفاده شده، محاسبه شود. ممکن است تصور شود که این امکان وجود دارد تا بتوان ماتریس میرایی سازه را دقیقا همانند ماتریس سختی سازه از ویژگی های میرایی هر یک از المان های تشکیل دهنده آن بدست اورد. اگرچه که تعیین ماتریس میرایی به این روش انجام نشدنی است به این دلیل که بر خلاف مدول الاستیک که در محاسبات سختی ورود می کند، ویژگی های میرایی مصالح را نمی توان با دقت تعیین کرد. حتی اگر این ویژگی های تعیین شود، ماتریس میرایی حاصل شده در برگیرنده قسمت اعظم مکانیزم اتلاف انرژی در اصطکاک اتصالات فولادی، باز شدن و بسته شدن میکروترک های موجود در بتن، تنش های به وجود آمده در المان های غیر سازه ای همچون  دیوارهای جداکننده، تجهیزات مکانیکی، تجهیزات آتش نشانی و سایر موارد،اصطکاک بین خود اعضای سازه ای و المان های غیر سازه ای، و مکانیزم های مشابهی که حتی برخی از آن ها غیر قابل تشخیص است، نمی باشد.

بنابراین ماتریس میرایی برای یک سازه می بایست از نسبت های میریی مدی آن تعیین شود که در برگیرنده تمامی مکانیزم های اتلاف انرژی می باشد. همان طور که در مطلب پیوست توضیح داده شد، نسبت های میرایی مدی می بایست از اطلاعات موجود برای سایر سازه ها که به شدت در حین زلزله های قبلی به لرزش در آمده اند اما وارد بازه غیر الاستیک نشده اند، تعیین شود؛ در صورت فقدان چنین اطلاعاتی، مقادیر جدول 1 پیشنهاد می شود. 

ماتریس میرایی کلاسیک

در صورتی که مکانیزم های میرایی مشابهی در سرتاسر سازه توزیع شده باشد (به طور مثال یک ساختمان چند طبقه با سیستم سازه ای و مصالح سازه ای مشابه در تمامی ارتفاع ساختمان )، میرایی کلاسیک یک ایده‌ال‌سازی مناسب محسوب می شود. در این مطلب یکی از دو روش متداول تشکیل ماتریس میرایی کلاسیک برای سازه، از نسبت های میرایی مدی که نحوه تعیین آن در مطلب پیوست توضیح داده شد، پرداخته می شود. 

میرایی رایلی

میرایی متناسب با جرم و میرایی متناسب با سختی را در نظر بگیرید:

معادله 1

که ضرائب a₀ و  a₁ به ترتیب دارای واحد های sec^-1 و sec می باشند. برای هر دوی این ماتریس های میرایی ماتریس C  به سبب ویژگی های تعامد مدی، یک ماتریس قطری است؛ بنابراین، این ماتریس ها، ماتریس های میرایی کلاسیک محسوب می شوند که به صورت فیزیکی، آن ها بیانگر مدل های میرایی نشان داده شده در شکل 1 برای یک ساختمان چند طبقه هستند.

(شکل1-a: میرایی متناسب با جرم b-میرایی متناسب با سختی)

از میرایی متناسب با سختی این گونه استنباط می شود که می تواند حاکی از مدل استهلاک انرژی نشات گرفته از تغییر مکان های طبقه باشد. بر خلاف آن، توجیه میرایی متناسب با جرم به صورت فیزیکی دشوار است، به این دلیلی میرایی مدل شده توسط آن برای اکثر سازه ها دارای مقدار بسیار کمی است. در ادامه خواهیم دید، هیچ کدام از این دو مدل میرایی برای کاربردهای عملی مناسب نیستند. حال نسبت های میرایی مدی را برای یک سیستم با میرایی متناسب با جرم به ضریب a₀ نسبت می دهیم.

میرایی تعمیم یافته برای مد n ام برابر است با:

معادله 2

و نسبت میرایی مدی، برابر با:

معادله 3

نسبت میرایی متناسب با معکوس فرکانس طبیعی می باشد.(شکل 2a). ضریب a₀ می تواند به گونه ای انتخاب شود که مقدار مشخصی را برای نسبت میرایی در هر مد نتیجه دهد. به طور مثال _ξi برای مد iام. بنابراین معادله 3 نتیجه می دهد:

معادله 4

با تعیین a₀ ماتریس میرایی C برای معادله 1a  بدست می آید، و نسبت میرایی در هر یک از مدها به عنوان مثال مد nام توسط معادله 3 داده شده است. 

به طور مشابه، نسبت های میرایی مدی برای یک سیستم با میرایی متناسب با سختی می تواند به ضریب a₁ ارتباط داده شود. در این حالت:

معادله 5

نسبت میرایی به صورت خطی با فرکانس طبیعی افزایش می یاید.(شکل 2). ضریب a₁ می تواند به گونه ای انتخاب شود که مقدار مشخصی را برای نسبت میرایی در هر یک از مدها ارائه دهد، به طور مثال ξ_j برای مد jام.

با توجه به معادله 5b خواهیم داشت:

معادله 6

با تعیین a₁ ماتریس میرایی از معادله 1b تعیین می شود، و نسبت میرایی در هریک از مد ها توسط معادله 5b تعیین می شود. هیچ یک از ماتریس های میرایی که توسط معادله 1 تعیین شود برای تحلیل های عملی سیستم های چند درجه آزادی MDF مناسب نیست. تغییراتی را که نسبت های میرایی مدی نسبت به فرکانس های طبیعی ارائه می کنند(شکل 2a) با داده های حاصل شده از بررسی های آزمایشگاهی که تقریبا نسبت های میرایی یکسانی برای مدهای ارتعاش سازه نشان می دهند، تطابق ندارند. به عنوان گام اول، برای ساخت ماتریس میرایی کلاسیک که تقریبا با داده های آزمایشگاهی سازگار باشد، میاریی رایلی را بررسی می کنیم:

معادله 7
 

نسبت میرایی برای مد nام چنین سیستمی:

معادله 8

ضرایب میرایی a₀ و a₁  می تواند از نسبت های میرایی ξ_i و ξ_j به ترتیب برای مدهای  iام و jام حاصل شود. بیان معادله 8 برای این دو مد در حالت ماتریسی به صورت زیر می باشد.

معادله 9

این معادله جبری را می توان به صورت هم زمان برای تعیین ضرائب a₀ و a₁ حل کرد. اگر فرض شود که هر دو مد دارای نسبت میرایی ξ  هستند، که این فرض با داده های آماری تطابق دارد، بنابراین:

(معادله 10)

بنابراین ماتریس میرایی از معادله 7 مشخص می شود و نسبت میرایی برای هر مد دیگر که توسط معادله 8 تعیین می شود و در شکل 2b نشان داده شده است، با فرکانس طبیعی تغییر می کند.

(شکل2- تغییرات نسبت های میرایی مدی نسبت به فرکانس طبیعی؛ a-میرایی متناسب با جرم و میرایی متناسب با سختی b-میرایی رایلی)

برای به کار گیری این روش برای یک مسئله عملی، مدهای i و j با نسبت های میرایی مشخص می بایست به گونه ای انتخاب شوند تا مقادیر منطقی را برای نسبت های میرایی در تمامی مدهایی که سهم قابل توجهی در پاسخ سازه را دارند، تضمین کنند. به طور مثال، فرض شود که می بایست 5 مد در تحلیل پاسخ در نظر گرفته شود و تقریبا نسبت میرایی یکسان ξ برای تمامی مد ها مورد نیاز است. این ξ می بایست برای مد اول و احتمالا برای مد 4ام تعیین شود. شکل 2b نشان می دهد که نسبت میرایی برای مدهای دوم و سوم تقریبا کوچکتر از ξ و برای مد 5ام تقریبا بزرگتر از ξ می باشد. نسبت های میرایی برای مدهای بالاتر از 5 به صورت یکنواخت نسبت به فرکانس افزایش می یابد و پاسخ های مدی متناظر با آن ها به دلیل میرایی بالا ضرورتا حذف خواهد شد. 

«دپارتمان سازه سامانه کارگشا»

دینامیک سازه ها-چوپرا-ویرایش 4

————————————————————————————————————————————–

برای بهره مندی از خدمات محاسبات طراحی سازه‌ها درخواست خود را در لینک زیر ثبت نمایید.

(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)