طراحی بهینه سازه به روش اجسام برخورد کننده استاندارد

مقدمه

بهینه سازی یا optimization اشاره به مطالعه مسائلی دارد که محقق یا طراح قصد کمینه کردن یا بیشینه کردن یک تابع با انتخاب سیستماتیک مقادیر مشخصی از یک مجموعه مقادیر را دارد. از یک طرف، مطالعات بی شماری در این حیطه از علم انجام شده است. یه این امید که بتوان الگوریتم های بهینه سازی کارامدی را توسعه داد. از سو دیگر، کاربرد الگوریتم ای موجود بر روی سازه ها و پروژه های موجود تمرکز بسیاری از مطالعات می باشد. 

در گذشته تکنیکی که بیشتر برای بهینه سازی استفاده می شد، روش های بهینه سازی گرادیان محور بودند، که این روش ها از اطلاعات گرادیان برای جستجوی جواب در نزدیکی یک نقطه شروع اولیه استفاده می کردند.  به طور کل، روش های گرادیان محور در مقایسه با روش های فرا کاوشی، زود تر هم گرا شده و به جواب هایی با دقت بیشتری می رسند. اگر چه رسیدن به اطلاعات گرادیان بسیار پر هزینه و سخت بوده و یا حتی در بسیاری از مسائل رسیدن به مقدار کمینه غیر ممکن است. علاوه بر آن این گونه الگوریتم ها تنها دستیابی به نقاط کینه موضعی را ضمانت می کنند و همچنین یک نقطه شروع مناسب برای اجرای موفقیت آمیز این روش ها بسیار با اهمیت است. در بسیاری از مسائل بهینه سازی ممکن است  نواحی غیر مجاز، محدودیت های جانبی، و توابع غیر هموار و یا توابع نا محدب وجود داشته باشند که این گونه مسائل را نمی توان توسط روش های بهینه سازی گرادیانی حل کرد. 

روش های بهینه سازی فراکاوشی نسل جدید روش های بهینه سازی هستند که برای حل مسائل پیچیده استفاده می شوند. ایده اصلی حاکم بر این روش های تصادفی بر پایه شبیه سازی پدیده های طبیعی است. به طور مثال الگوریتم ژنتیک(GA) از تئوری تکاملی داروین الهام گرفته است. بهینه سازی به روش ازدحام ذرات (PSO) رفتار تعامل اجتماعی دسته های پرندگان و ماهی ها را شبیه سازی می کند. بهینه سازی به روش دسته مورچگان (ACO) روشی را که دسته مورچگان برای پیدا کردن کوتاه ترین مسیر بین خانه و غذا استفاده می کنند، تقلید می کند. الگوریتم جستجوی موزون (HS) با استفاده از روندی که در موسیقی برای یافتن بهترین وضعیت وزن و آهنگ استفاده می شود، شکل گرفته است.

یک روش جدید از الگوریتم های فراکاوشی ،بهینه سازی به روش اجسام برخورد کننده  می باشد که بر روی مسائل متعدد سازه ای به کار گرفته شده است. بهینه سازی به روش اجسام برخورد کننده، یک الگوریتم چند عاملی است که بر اساس قوانین  برخورد دو جسم در یک بعد الهام گرفته شده است. هر عامل به عنوان بک جسم با جرم ( یا وزن) و سرعت مشخص مدل شده است. یک برخود بین دو جسم به وجود می آید و بر اساس قوانین حاکم بر ضربه مکان(وضعیت، جایگاه، موقعیت) جدید اجسام ضربه زننده به روز رسانی (بهنگام) می شود. 

 الگوریتم بهینه سازی اجسام ضربه زننده

همان طور که گفته شود در این روش یک جسم به جسم دیگری برخورد کرده  و اجسام به گونه ای حرکت یا تغییر می کنند که انرژی حداقل گردد. هر جسم ضربه زننده X_i ، دارای جرم مشخصی است و یا به عبارتی جرم مشخصی به آن تخصیص می یابد که بر اساس رابطه ی زیر تعیین می شود. 

که در این رابطه fit _i بیانگر مقدار تابع هدف جسم ضربه زننده i ام و n تعداد اجسام ضربه زننده است. 

برای انتخاب یک جفت از اجسام برای برخورد، اجسام ضربه زننده براساس جرمی که به آن ها تخصیص یافته است، به صورت نزولی طبقه بندی می شوند و  سپس مطابق شکل زیر به دو دسته طبقه بندی می شوند. 
1-گروه ثابت
2-گروه متغیر

(شکل1)

اجسام متغیر به اجسام ثابت برخورد می کنند تا موقعیت آن ها را ارتقاء دهند و اجسام ثابت را به موقعیت بهتری سوق دهند. سرعت اجسام ثابت و متغیر قبل از برخورد v_i به صورj زیر محاسبه می شود. 

سرعت اجسام ثابت و متحرک پس از برخورد v_i به صورت زیر محاسبه می شود. 

که در این معادلات iter و iter max به ترتیب شماره تکرار فعلی و تعداد کل تکرارها برای روند بهینه سازی است. ε ضریب جبران است.COR 

موقعیت جدید هر دسته به صورت زیر به روز رسانی می شود.

که در معادلات فوق x_inew  و x_i و v_i به ترتیب برابر موقیت های جدید، موقعیت های قبلی و سرعت پس از برخورد i امین جسم هستند. rand یک بردار تصادفی که به صورت یکنواخت در بازه [1  ،1-] توزیع شده است می باشد و علامت«ο» نشانگر ضرب المان به المان است. 

فلوچارت الگوریتم اجسام برخورد کنند  در شکل زیر نشان داده شده است. 

(شکل2)

 اعمال الگوریتم های بهینه سازی بر رو  سازه  خرپایی:

هدف ما این است که مقادیر بهینه برای مساحت های مقاطع اعضای سازه را تعیین کنیم به صورتی که وزن سازه بهینه شود و قید ها(ضوابط، معیارها) نیز اغنا می شوند.

مسئله طراحی وزن حداقل به صورت زیر فرمول بندی می شود:

که در این رابطه  X برداری است که متغیر های طراحی را در بر می گیرد. 

ng تعداد متغیرهای طراحی است. (W(X بیان کننده وزن سازه است. n_m تعداد المان های سازه است.؛ ρ_i و  L_i به ترتیب بیان گر چگالی ماده و طول عضو iام هستند. x_imin و x_imax به ترتیب حدود پایین و بالای متغیر طراحی x_i هستند.  (g_j(X  شامل قید های طراحی هستند.؛ و n بیانگر تعداد قید هاست. قید های طراحی توسط روش معروف جریمه(penalty approach)کنترل می شوند. 

عملکرد روش استاندارد اجسام برخوردکننده توسط یک مثال طراحی ارزیابی می شود. این مثال شامل یک خرپای صفحه ای با 200 عضو است. جمعیت به تعداد 20 برای مسئله خرپا در نظر گرفته شده است. تعداد 20000 تحلیل برای این مثال در نظر گرفته شده است. برای کاهش خطاهای آماری حل مسئله 20 بار تکرار شده است. 

خرپای صفحه ای 200 عضوی 

خر پای 200 عضوی در شکل زیر نشان داده شده است. 

(شکل3)

مدول الاستیک برابر 210 Gpa و چگالی ماده برابر 7860 kg/m3 برای تمامی المان هاست. جرم های غیر سازه ای برابر با 100 KG به گره های 1 تا 5 متصل شده است. حداقل سطح مقطع مجار برابر 0.1 cm² است. با توجه به تقارن سازه المان های به 29 گروه طبقه بندی(تیپ بندی) شده اند. سه فرکانس طبیعی اول سازه مطابق زیر به عنوان قید در نظر گرفته شده اند. 

جدول 1 نشانگر بهترین بردار های حل و وزن متناظر و وزن میانگین روش های ارائه شده توسط کاوه و ذوالقدر ، روش استاندارد اجسام برخورد کننده و روش اجسام برخورد کننده ارتقا یافته نشان داده شده است. بهترین وزن ارائه شده توسط الگوریتم روش اجسام برخورد کننده استاندارد  برابر 2161.15 kg می باشد.

جدول 1

 جدول 2 بیانگر فرکانس های طبیعی سازه بهینه شده است که از نتایج می توان استنباط کرد که از هیچ یک  از قید ها تخطی نشده است. 

جدول2

شکل زیر بهترین و میانگین تاریخچه همگرایی نتایج روش اجسام برخورد کننده استاندارد را نشان می دهد. روش استاندارد اجسام برخورد کننده نیاز به 10500 تحلیل برای رسیدن به بهترین جواب را دارد. 

(شکل4)

منبع:

کتاب بهینه سازی به روش اجسام برخور کننده، دکتر علی کاوه، مهندس مهدوی، انتشارات اشپرینگر

مقاله روش کدهای برنامه نویسی برای بهینه سازی به روش اجسام برخورد کننده و ورژن ارتقا یافته آن، ژورنال بهینه سازی در مهندسی عمران شماره 321-339

دپارتمان سازه سامانه کارگشا