ارتعاش اجباری سازه یک درجه آزادی

پاسخ سازه به تحریک هارمونیک

نظریه پاسخ وضعیت ماندگار (steady state) سازه ها به تحریک هارمونیک دارای کاربرد های متفاوتی هست. این کاربردها شامل آزمایشات ارتعاش اجباری سازه ها، طراحی شتاب نگار ها و جداساز های ارتعاشی می شود. برخی از نتایج این نظریه را با در نظر گرفتن دو نوع از نیروهای هارمونیک شامل نیرو خارجی با دامنه ثابت و نیروی خارجی در  اثر مولد ارتعاش، بررسی می کنیم. 

نیروی خارجی با دامنه ثابت 

نیرو خارجی که به صورت هارمونیک با زمان تغییر می کند، را در نظر بگیرید:

(1)

که دامنه یا مقدار بیشینه این نیرو برابر _°p ، زمان تناوب آن برابر^¯T که (^¯T^¯=2π/ω) و فرکانس دایروی(زاویه ای) برابر ^¯ω(مطابق شکل 1) .

معادله حرکت مطابق رابطه زیر است:

(2)

این معادله را با روش های استاندارد برای بدست آوردن پاسخ سازه در دو قسمت می توان محاسبه کرد:

پاسخ به ارتعاش آزاد و پاسخ به وضعیت ماندگار(ثابت یا ایستا). 

در سازه های میرا شونده، پاسخ سازه به ارتعاش آزاد کاهش یافته و در نهایت به مقدار ناچیزی خواهد رسید و معمولا تنها پاسخ وضعیت ماندگار به عنوان پاسخ سازه در نظر گرفته می شود. 

شکل زیر بیانگر آن است که حرکت وضعیت ماندگار در فرکانسی برابر با ^¯ω و با جابه جایی(شیفت) زمان برابر با ^¯ϴ/ω رخ می دهد. (که ϴ زاویه فازی جابه‌جایی می باشد.)

(شکل1- حرکت وضعیت ماندگار در  اثر نیروی هارمونیک)

بنابراین پاسخ وضعیت ماندگار ممکن است به صورت زیر در نظر گرفته شود:

(3)

که در آن:

(4)

(5)

(6)

(7)

دامنه تغییر مکان دینامیکی u_max توسط معادله زیر محاسبه می شود:

(8)

که u_st همان طور که در معادله 4 تعیین شد، تغییر مکان در صورتی که نیروی بیشینه p به صورت استاتیکی به سازه اعمال شود، می باشد. بنابراین D ضریب پاسخ بدون بعدی است که برابر با نسبت دامنه جابه‌جایی دینامیکی به استاتیکی می باشد. ضریب پاسخ D تنها به دو پارامتر وابسته است:

1-    β=ω^¯/ω ، نسبت فرکانس بار خارجی به فرکانس طبیعی ارتعاش سازه.

2-    نسبت میرایی(نسبت تواتر)

شکل 2 ترسیم گرافیکی معادله 5 است که که تغییرات D را نسبت به β برای مقادیر مختلف ξ نشان می دهد.

معادلات 3 تا 8 و شکل 2 امکان استخراج مشاهدات با ارزشی را فراهم می سازد. که به بررسی این مشاهدات می پردازیم.

(شکل2- ضریب پاسخ سازه یک طبقه در معرض نیروی هارمونیک)

برای مقادیر  β نزدیک به 0، u_max تقریبا مشابه با u_st است. بدین معنی که در صورتی که فرکانس نیرو بسیار کوچکتر از فرکانس طبیعی سازه باشد، اثرات دینامیکی قابل اغماض است. برای مقادیر کوچکتر β، بیشینه تغییر مکان توسط سختی سیستم کنترل می شود و جرم و میرایی دارای کمترین تاثیر است.

هنگامی که β=1و  D=1/2ξ بدین معنی که در صورتی که فرکانس نیرو با فرکانس طبیعی سازه یکسان باشد، ضریب پاسخ متناسب با معکوس نسبت میرایی است. برای مقادیر نزدیک به 1، β ضریب پاسخ توسط میرایی کنترل می شود و اثرات جرم و سختی ناچیز خواهد بود.

هنگامی که فرکانس نیرو ^¯ω بسیار بزرگ تر از فرکانس طبیعی ω سازه باشد، ضریب پاسخ مستقل از میرایی خواهد بود و به 0 نزدیک می شود. می توان نشان داد که در فرکانس های بالای نیرو، جابه‌جایی بیشینه عمدتا به جرم وابسته است. 

فرکانس تشدید(رزونانس) فرکانس متناظر با پاسخ بیشینه است. در مقادیر بسیار کم ^¯ω(مقادیر نزدیک به 0، β) ضریب پاسخ D تقریبا برابر با 1 است؛ این ضریب، هنگامی که ^¯ω=ω  به مقدار بیشینه خود افزایش یافته و هنگامی که مقادیر ^¯ω (یا β) بزرگ می شود، مقدار آن به 0 می رسد. 

می توان نشان داد که مقادیر بیشینه D برای مقادیر β مطابق با رابطه زیر اتفاق می افتد و فرکانس متناظر، فرکانس تشدید تغییر مکان خواهد بود. 

(9)

بنابراین، روابطه میان فرکانس تشدید تغییر مکان و فرکانس طبیعی میرا ω_D، و فرکانس طبیعی نامیرا ω به صورت زیر می باشد:

فرکانس تشدید تغییر مکان=
(10)

(11)

اگرچه که فرکانس تشدید تغییر مکان با فرکانس های طبیعی میرا و یا نامیرا متفاوت است، اما این اختلاف برای سازه هایی با میرایی معمول قابل چشم پوشی است.(این اختلاف برای سازه های با میرایی کمتر از 20% کمتر از 4% است.)

شکل 2 نشان می دهد که تندی یا عرض منحنی پاسخ در مجاورت فرکانس تشدید وابسته به میرایی سیستم است. مطابق شکل 3 این عرض در نقطه « توان نیمه»
(half-power) برابر 2ξ خواهد بود. نقطه توان نیمه به صورت زیر تعریف می شود:

(12)

(شکل3-ارزیابی میرایی از آزمایش ارتعاش اجباری)

نیروی خارجی در اثر مولد ارتعاش 

مولد های ارتعاش(یا ماشین های لرزش) برای انجام آزمایشات ارتعاش اجباری بر روی سازه ها به وجود آمدند. دو وزنه مساوی واگرا که در راستای مخالف یکدیگر دوران می کنند، نیرویی در یک راستا را که به صورت سینوسی نسبت به زمان تغییر می کند به وجود می آورند. دو وزنه که هر کدام دارای جرم m هستند که با شعاع(خروج از مرکزیت) r، با فرکانس ^¯ω نیرویی به صورت زیر را تولید می کنند. 

(13)

بر خلاف دامنه ثابت بار خارجی قسمت قبل، دامنه این بار متناسب با ^2¯ω است. بنابراین، بر اساس معادلات 4 و 8، دامنه پاسخ تغییر مکان u_max بر اثر نیروی مولد ارتعاش  توسط معادله زیر محاسبه می شود:

(14)

که مقدار D ازمعادله 5  مشخص می شود. دامنه پاسخ شتاب به صورت زیر است:

(15)

آزمایشات ارتعاش اجباری

تولید مولدهای ارتعاش، یک روش کارآمد را برای انجام آزمایشات ارتعاش اجباری، بر روی سازه ها فراهم آورد. ویژگی های ارتعاشی سازه، توسط تغییر فرکانس مولد ارتعاش در یک بازه مناسب، بدست می آید. دامنه شتاب وضعیت ماندگار، در هر فرکانس نیرو اندازه گیری می شود. نمودار های فرکانس-پاسخ، به صورت فرکانس نیرو در برابر دامنه شتاب، ممکن است مستقیما از اطلاعات بدست آمده از آزمایشات ترسیم شود. اگر چه که این نمودار ها متعلق به نیروهایی هستند که دامنه آنها متناسب با مربع فرکانس نیرو می باشد و در نتیجه برای محاسبه نمودار های فرکانس-پاسخ شتاب متعلق به نیروی با دامنه ثابت، می بایست هر یک از دامنه های شتاب برمربع فرکانس نیروی متناظرش تقسیم گردد.  در صورتی که شتاب اولیه بر فرکانس به توان 4 نیرو تقسیم شود، نمودار های فرکانس-پاسخ  تغییر مکان برای دامنه ثابت نیرو حاصل می شود. 
فرکانس طبیعی ارتعاش و نسبت میرایی برای یک سازه یک طبقه می تواند از هر یک از نمودار های فرکانس-پاسخ توسط روش زیر تعیین گردد:

1-    تعیین فرکانس طبیعی ارتعاش به صورت فرکانس نیروی متناظر با تشدید.
2-    اندازه گیری پهنای باند توان نیمه.(half power band width)
3-    محاسبه نسبت میرایی به صورت پهنای باند توان نیمه تقسیم بر 2

برای سازه های با میرایی کم(نسبت میرایی کمتر از 5%) مقادیر حاصل شده برای فرکانس طبیعی سازه از نمودار های متفاوت فرکانس-پاسخ، دارای تفاوت اندکی است. همچنین، مقادیر یکسانی برای نسبت میرایی از نمودار های متفاوت فرکانس-پاسخ حاصل می گردد. 

منبع:

دپارتمان سازه سامانه کارگشا

احتراما سوال و یا درخواست همکاری خود را مطرح فرمایید.(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)