ارتعاش آزاد سازه یک درجه آزادی

پاسخ سازه به ارتعاش آزاد 

ارتعاش آزاد هنگامی اتفاق می افتد که سازه در اثر نیروهایی که به صورت ذاتی در سیستم وجود دارند، نوسان کند و سیستم در معرض نیروهای خارجی و یا جنبش های زمین ناشی از زلزله قرار نگرفته باشد. 

ارتعاش آزاد سازه  نا میرا 

ابتدا سازه ایده آل زیر را بدون وجود میرایی در نظر بگیرید.

شکل1

 در صورتی که جرم در اثر اعمال تغییر مکان (u(0 و یا سرعت (0)^·u از وضعیت تعادل خود خارج شود، سیستم همانند شکل زیر حول وضعیت تعادلی خود ارتعاش(نوسان) می کند که در واقع شکل نمایش گرافیکی معادله زیر است.  

(1)

 این رابطه از حل معادله حرکت بدست حاصل شده است. (در صورتی که میرایی و تحریک خارجی در معادله حرکت برابر 0 قرار داده شود.)
نمودار تغییر مکان-زمان با ارتفاع  (u(0 و شیب (0)^·u آغاز می شود. 

(شکل2-ارتعاش آزاد سازه نامیرا)

نمودار های تغییر شکل سازه در  قسمت زیرین شکل  متناظر با نقاط 1 ، 2 ، 3 ، 4  بر روی نموار پاسخ-زمان می باشند.

برای درک بیشتر یک سیکل از ارتعاش سازه در شکل فوق را در نظر بگیرید. جرم از وضعیت تعادلی خود در نقطه 1 به سمت راست حرکت کرده تا به نقطه بیشینه تغییر مکان مثبت خود در نقطه 2 برسد،  از انجا تغییر مکان شروع به کاهش یافته و در نقطه 3 به حالت تعادل خود باز می گردد. سازه حرکت خود را به سمت چپ تا رسیدن به بیشینه تغییر مکان منفی در نقطه 4 ادامه می دهد و سپس تغییر مکان مجددا کاهش یافته به صورتی که جرم به وضعیت تعادل خود در نقطه 5 باز خواهد گشت.

یک سیکل از حرکت توسط قسمت (1-2-3-4-5) نمودار مکان-زمان توضیح داده شد. در نقطه 5 وضعیت جرم (تغییر مکان و سرعت) به حالت مشابه با نقطه 1 دست می یابد، و جرم آماده است تا سیکل دیگری از ارتعاش را آغاز کند. 

همان طور که از رابطه نشان داده شده در شکل فوق مشخص است، دامنه حرکت وابسته به تغییر مکان و سرعت اولیه است. دقت شود به این دلیل که سازه نامیراست، حرکت دچار افت نمی  شود، و یا به عبارت دیگر دامنه تغییر مکان در تمامی سیکل های نوسان، یکسان است. 

دوره تناوب(پریود) طبیعی ارتعاش سازه (T(sec زمان مورد نیاز برای طی یک سیکل از ارتعاش آزاد می باشد. این پارامتر با فرکانس دایروی طبیعی ارتعاش (ω(rad/sec و فرکانس نوسانی طبیعی ارتعاش(بسامد) (f(cycles/sec or HZ به صورت زیر مرتبط است:

(2)

(3)

واژه طبیعی بدان دلیل استفاده می شود که نشان دهد هنگامی که به سازه اجازه داده می شود تا بدون تحریک خارجی،  آزادانه ارتعاش کند، مقادیر فوق جزء ویژگی های طبیعی سازه هستند،. و  بدان دلیل که سازه خطی است، این ویژگی ها به تغییر مکان و سرعت اولیه وابسته نیستند. 

در صورتی که معادله حرکت حاکم بر ارتعاش آزاد سازه نامیرا را حل کنیم (معادله حرکت در صورتی که ضریب میرایی و نیروی خارجی برابر 0 باشد) می توان نشان داد که :

(4)

بنابراین ویژگی های ارتعاش، ω، f و T تنها به جرم و سختی سازه وابسته است. در صورتی که دو سازه با جرم یکسان را در نظر بگیریم، سازه ای که دارای سختی بیشتر است دارای فرکانس ارتعاش بیشتر و زمان تناوب کمتر است. به طور مشابه در صورتی که دو سازه دارای سختی یکسان باشد، سازه سبکتر که دارای جرم کمتری است، دارای فرکانس ارتعاش بیشتری بوده و همچنین زمان تناوب ارتعاش آن کوتاه تر است. 

ارتعاش آزاد سازه میرا 

شکل زیر نشان دهنده پاسخ ارتعاش آزاد 2 سازه یک طبقه است که از تمامی جهات به یکدیگر شباهت دارند به جر آنکه یکی از آن ها که نامیرا بوده و سازه دیگر دارای میراگر ویسکوز است. ارتعاش آزاد هر دو سیستم از تغییر مکان اولیه (u(0 و سرعت اولیه (0)^·u که به جرم القا می شود به وجود می آید. نمودار تغییر مکان-زمان برای هر دو سیستم در زمان t=0  با ارتفاع و شیب یکسان شروع می شود. دامنه تغییر مکان سازه نامیرا برای تمامی سیکل های ارتعاش یکسان است، در صورتی که سازه میرا به صورتی نوسان می کند که دامنه حرکت آن در هر سیکل کاهش می یابد. 

(شکل 3- اثرات میرایی بر روی ارتعاش)

زمان تناوب طبیعی T_D، فرکانس دایروی ω_D و فرکانس نوسان f_D ، ارتعاش سازه میرا مطابق با روابط زیر، همانند رفتار سازه نامیرا، به یکدیگر وابسته هستند:

(5)

(6)

بیشتر آنکه، تاثیر میرایی در فرکانس دایروی طبیعی و زمان تناوب ارتعاش مطابق روابط زیر قابل محاسبه است. 

(7)

(8)

ξ کسری از ضریب میرایی بحرانی است و مطابق با رابطه زیر محاسبه می شود.

(9)

این ضریب یک مقیاس ارزیابی بدون بعد از ضریب میرایی c برای سیستم است. به اختصار از ضریب ξ  به عنوان نسبت میرایی (نسبت تواتر) اطلاق می شود. تاثیر  میرایی بر روی سیستم شامل کاهش فرکانس دایروی طبیعی ارتعاش و افزایش زمان تناوب طبیعی ارتعاش است. شکل زیر بیان گر آن است که برای نسبت های میرایی کمتر از 0.2، بازه ای که شامل اکثر سازه ها می شود، اثرات میرایی قابل اغماض است. به عبارتی ω برابر ω_D و T برابر T_D خواهد بود. 

(شکل 4- اثرات میرایی بر روی فرکانس ارتعاش)

دامنه تغییر مکان به دلیل میرایی به صورت پیش رونده ای کاهش می یابد. همان طور که در شکل 3 دیده می شود، این کاهش در دامنه به صورت توانی است و از شکل 5 می توان فهمید که نرخ این کاهش قویا به نسبت میرایی ξ  وابسته است.  

شکل 5(شکل های 1، 2،3 و 4 به ترتیب متعلق به نسبت های میرایی 0-1-2 و 5 درصد هستند. )

می توان نشان  داد که برای سیستم های با میرایی کم، نسبت تغییر مکان برای  هر دو قله متوالی(چه مثبت و چه منفی) برابر:

(10)

نسبت هر کدام از دو قله متوالی برابر می باشد. بدین معنی که معادله فوق به i وابسته نیست. کاهش لوگاریتمی به صورت زیر بیان می شود. 

(11)

با ترکیب دو معادله فوق  نتیجه زیر حاصل می شود:

(12)

با در نظر گرفتن قله های پاسخ که چندین قله از یکدیگر فاصله دارند، به طور مثال j قله می توان نشان داد که:

(13)

از این معادله، تعداد قله های j مورد نیاز برای کاهش دامنه به اندازه 50 درصد را می توان بدست آورد.  که در شکل زیر در برابر نسبت میرایی ترسیم شده است. 

(شکل 6-نموار تعداد سیکل های مورد نیاز برای کاهش 50 درصدی دامنه نوسان نسبت به نسبت میرایی)

به طور ضمنی در مبحث ارتعاش آزاد سیستم های میرا فرض بر آن است که میرایی در این سازه ها کمتر از میرایی بحرانی است. به عبارتی ξ کوچکتر از 1 است. این فرض کاملا صحت دارد، زیرا که بیشتر سازه ها به مقدار کمی و به اندازه ای بسیار کمتر از میرایی بحرانی، میرا می شوند. عموما نسبت میرایی در بازه بین 0.02 تا 0.1 می باشد(2 تا 10 درصد). در صورتی که ضریب میرایی سازه برابر یا بزرگتر از ضریب میرایی بحرانی باشد(1₌<ξ ) حرکت غیر نوسانی خواهد بود. جرم چنین سازه هایی، در صورتی که از وضعیت تعادل خارج شوند و سپس رها گردند به سادگی به وضعیت تعادل خود بازمی گردد.

ممکن است، میرایی های بزرگ تر در برخی سیستم ها تعبیه شوند. به طور مثال، بیشتر شتاب نگار ها که جنبش قوی زمین را ثبت می کنند به صوراتی طراحی می شوند که دارای میرایی برابر با 60 در صد میرایی بحرانی باشند.

منبع:

دپارتمان سازه سامانه کارگشا

احتراما سوال و یا درخواست همکاری خود را مطرح فرمایید.(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)