معادله حرکت سازه تک درجه آزادی

معادلات حرکت

حرکت(جنبش، تغیر مکان) یک سازه آرمانی یک طبقه که در معرض تحریکات دینامیکی قرارگرفته است با معادلات دیفرانسیل معمولی بیان می شوند. معادلات حاکم یا معادلات حرکت برای دو نو ع از تحریکات دینامیکی تعریف می شوند: بار های خارجی، جنبش های زمین ناشی از زلزله.

 معادله حرکت ناشی از بارهای خارجی دینامیک

شکل زیر نشانگر سازه خطی با جرم (m)، سختی جانبی (k)، و میرایی ویسکوز (c)، که در معرض نیروی دینامیکی (p(t قرار گرفته است.

شکل(1)

 حروف(notation) به کار برده شده برای تعریف نیروی خارجی بیانگر این مسئله است که نیرو نسبت به زمان تغییر می کند. تحت اثر این بار ، سقف سازه به مقدار (u(t در راستای جانبی تغییر مکان می دهد که تغیر مکان سازه ( تغییر مکان سقف نسبت به تراز پایه)  نیز می باشد. به این دلیل که نیروی p با زمان تغییر می کند، در نتیجه تغییر مکان u نیز تابعی از زمان خواهد بود. 

نیروهای متفاوتی که که بر روی جرم سازه با مشخصات فوق  در بازه های زمانی اثر می کنند در نمودار بدنه آزاد جرم جسم(free body diagram) در شکل زیر نشان داده شده است. این نیرو ها شامل نیروی خارجی(p(t ، نیروی مقاوم الاستیک f_s، نیروی میرایی f_d، و نیروی اینرسی f_I می باشد.مشاهده می شود که نیرو های الاستیک و میرایی به سمت چپ عمل می کنند به این علت که در برابر تغییر شکل و سرعت که در جهت راست مثبت در نظر گرفته می شوند، مقاومت می کنند. نیروی اینرسی نیز به سمت چپ و مخالف با شتاب مثبت عمل می کند.

شکل 2

در هر بازه از زمان، جرم در اثر نیروهای اعمالی در آن زمان در وضعیت تعادل می باشد. با توجه به نمودار بدنه آزاد جسم، این شرط تعادل دینامیکی به صورت زیر می باشد:

نیروهای اینرسی، میرایی و الاستیک با توجه به (u(t و ضرائب مرتبط با مفاهیم خود به دست می آیند. برای یک سازه خطی، نیروی الاستیک برابر است با:

که k سختی جانبی سازه، u تغییر مکان طبقه و یا تغییر مکان نسبی طبقه می باشد.

نیروی میرایی برابر: 

که c  برابر ضریب میرایی سازه و u برابر با سرعت نسبی یا سرعت طبقه می باشد. همان طور که در شکل زیر مشاهده می شود نیروی الاستیک متناسب با تغییر مکان جانبی و نیروی میرایی متناسب با سرعت نسبی است.

 

نیروی اینرسی متناظر با جرم m که دارای شتاب u است به صورت زیر می باشد:

شکل 3

با جاگذاری معادله 2 در معادله 1 خواهیم داشت:

که این رابطه، معادله حرکت حاکم بر تغییر شکل (u(t سازه ایده آل نشان داده شده در شکل 1 که تحت اثر نیروی دینامیکی (p(t قرار گرفته است می باشد. 

دینامیک، سیستم نشان داده شده در شکل زیر در دانش مکانیک ارتعاشات مطالعه می شود. این سیستم دارای جرم m که توسط دو المان موازی شامل فنر با سختی k و میراگر ویسکوز با ضریب میرایی c که به یک تکیه گاه ثابت متصل شده است، می باشد. در هر لحظه از زمان نیروهایی که بر جرم اعمال می شوند(مطابق با بدنه آزاد سیستم) معادله  1 را اغنا می کنند. بنابراین معادله تعادلی که برای سازه یک طبقه آرمانی بدست آمد برای سیستم جرم-فنر-میراگر زیر نیز صدق می کند. 

شکل 4

 معادله حرکت ناشی از زلزله

به سقف شکل زیر که نشان دهنده یک سازه آیده آل تک طبقه است بار دینامیکی خارجی اعمال نشده است.

شکل 5

در این حالت تحریک موثر اعمالی به سازه، جنبش ناشی از زمین لرزه در تراز پایه ساختمان است که فرض می شود که تنها مولفه افقی جنبش زمین با تغییر مکان  (u_g(t ،سرعت (u^°_g(t، و شتاب (u^°°_g(t می باشد. تحت اثر چنین تحریکی، در صورتی که زمین صلب باشد، تراز پایه سازه به اندازه  (u_g(t حرکت می کند و سازه نیز تغییر شکل (u(t را متحمل خواهد شد. تغییر مکان کل سقف سازه برابر خواهد بود با:

با توجه به نمودار بدنه آزاد جرم نشان داده شده در شکل فوق، معادله تعادل دینامیکی برابر خواهد بود با:

معادلات  2a و 2b همچنان بر قرار هستند زیرا که نیروهای الاستیک و میرایی تنها به تغییر مکان جانبی و سرعت جانبی و نه به مقدار کلی آنها، وابسته است. اگر چه که جرم در این حالت شتاب u°°^t را متحمل می شود و نیروی اینرسی بنابراین برابر خواهد بود با:

که با استفاده از معادله (4) می توان نشان داد که:

معادله 5 پس از جاگذاری در معادلات 2aو 2b و 6 می تواند به صورت زیر نشان داده شود:

که این رابطه معادله حرکت حاکم بر تغییر شکل (u(t سازه ایده آل نشان داده در در شکل 4 که در معرض شتاب زمین (u(t قرار گرفته است می باشد.

 مقایسه معادلات 3 و 7 بیانگر این مطلب است که معادلات تعادل برای سازه تحت اثر تحریک های شتاب زمین (u°°g(t و نیروی خارجی (mu°°g(t- یکسان است. پاسخ تغییر شکل سازه (u(t در اثر تحریک زمین برابر  با پاسخ سازه قرارگرفته بر روی تراز پایه ثابت تحت اثر بار خارجی برابر با حاصلضرب جرم در شتاب زمین که بر خلاف جهت شتاب عمل می کند، می باشد. همان طور که در شکل زیر نشان داده شده است، جنبش زمین می تواند با نیروی موثر  (mu°°g(t- جابه جا شود. 

شکل 6

بیان مسئله

با فرض جرم m، سختی k، میرایی c، و نیروی تحریک (p(t و یا شتاب زمین مسئله اساسی دینامیک سازه ها تعیین پاسخ تغییر شکل (u(t سازه آرمانی یک طبقه می باشد. سایر کمیت های پاسخ مورد نظر، همچون برش پایه می تواند از پاسخ تغییر شکل حاصل شود. 

در مقالات آتی پاسخ سازه را تحت اثر ارتعاش آزاد نیروی هارمونیک و جنبش زمین ناشی از زلزله بررسی خواهیم کرد. سازه آرمانی 1طبقه، یک سیستم تک درجه آزادی (SDF) است زیرا دارای یک معادله حاکم بر حرکت خود (معادلات 3  یا7 )می باشد که تنها شامل مجهول (u(t می باشد.

منبع:

دپارتمان سازه سامانه کارگشا 

احتراما سوال و یا درخواست همکاری خود را مطرح فرمایید.(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه)