دینامیک سازه ها، معادله حرکت ساختمان های چند طبقه

ساده ترین مدل سازی ساختمان چند طبقه

مطلوب است تا به مطالعه دینامیک ساختمان های چند طبقه با ساده ترین مدل ممکن مطابق شکل1 بپردازیم.  در این مدل سازی، فرض بر آن است که ستون هایی که سیستم های سقف بر آن ها تکیه دارد و سقف ها را به یکدیگر متصل می کند، بدون جرم هستند. و تمامی جرم سازه در تراز طبقات سازه متمرکز شده اند؛ سیستم های سقف و تیر ها صلب هستند در صورتی که ستون ها نسبت به تغییر شکل جانبی انعطاف پذیر بوده اما در راستای عمودی صلب در نظر گرفته می شوند. فرض بر آن است که سازه بر روی زمین صلب تکیه دارد. مدل ساختمان برشی ذکر شده، برای توصیف مفاهیم اساسی دینامیک ساختمان های چند طبقه به کار برده می شود. 

اگر چه که برای تعیین دقیق پاسخ دینامیکی سازه معمولا از مدل سازی های بهبود یافته ای استفاده می شود. جرم های متمرکز شده در تراز طبقات با اسامی m₁ و m₂ , … و m_N که m_j برابر جرم در طبقه jام است. مشخصات سختی سازه خطی با سختی جانبی هر طبقه به صورت k₁ و k₂ و … و k_N شناخته می شود که k_j سختی جانبی طبقه j ام است یا به عبارتی نیروی برشی مورد نیاز اعمالی به طبقه برای ایجاد تغییر شکل واحد در طبقه می باشد. (شکل 1)

(شکل1-ساختمان چند طبقه آرمانی(ایده آل))

در ابتدا به بررسی معادلات حرکت سیستم نامیرا می پردازیم و سپس پارامتر های میرایی به سیستم نامیرا اضافه خواهد شد. 

معادلات حرکت

معادلات دیفرنسیل عادی به تعداد طبقات ساختمان، حاکم بر حرکت یک ساختمان چند طبقه ایده آل در اثر تحریک دینامیکی می باشد. معادلات حرکت برای دو نمونه از تحریکات دینامیکی استخراج شده است: نیرو های خارجی و جنبش زمین.

برای هر نوع تحریک کاربردی است تا ابتدا معادلات حرکت یک ساختمان دو طبقه استخراج شود. پس از آن، این معادلات برای تعیین معادلات حرکت در حالت کلی که برای ساختمان های چند طبقه معتبر باشد، تعمیم می یابد. 

نیروهای خارجی

شکل 2a نشان دهنده ی یک ساختمان دو طبقه است  که در معرض نیرو های دینامیکی خارجی اعمالی (p₁(t و (p₂(t در طبقات اول و دوم قرار گرفته است. تحت اثر این نیرو ها، سازه در راستای جانبی تغییر شکل می یابد. در هر بازه از زمان، حالت تغییر شکل یافته سازه توسط تغییر شکل های (u₁(t و (u₂(t که به ترتیب تغییر مکان های سازه در طبقات اول و دوم می باشد، قابل تعیین است. 

(شکل2-ساختمان دو طبقه در معرض نیروهای خارجی به همراه نمودار های بدنه آزاد )

نیروهای مختلف که بر روی جرم های طبقات اعمال می شود در نمودار بدنه آزاد جسم در شکل 2b نشان داده شده است. این نیرو ها شامل نیروی خارجی (p_j(t ، نیروی اینرسی Fi_j، و نیروی مقاوم الاستیک Fs_j می باشد. نیروی اینرسی در راستای چپ بر خلاف راستای شتاب مثبت عمل می کند. نیرو های مقاوم الاستیک نیز به سمت چپ و در راستای معکوس تغییر مکان مثبت عمل می کنند. در هر بازه از زمان، هر یک از جرم های سازه در آن زمان تحت اثر آن نیروها در وضعیت تعادل خود قرار گرفته است. 

با توجه به نمودار های بدنه آزاد جسم، شرایط تعادل دینامیکی برای جرم طبقه اول:

(1)

و برای جرم طبقه دوم:

(2)

پس از آن، نیروهای اینرسی و الاستیک مرتبط با شتاب و تغییر مکان های اجرام می باشند. برای یک سازه خطی، نیروهای مقاوم الاستیک توسط سختی طبقه به جابه جایی ها مطابق با معادلات زیر، مرتبط هستند:

(3)

(4)

نیروهای اینرسی متناظر با جرم های m₁ و m₂ که به ترتیب در معرض شتاب های u^··_{1 و}   u^··₂ قرار دارند به صورت زیر می باشند:

(5)

(6)

با جاگذاری معادلات 5,6,4,3 در معادله 2,1 خواهیم داشت:

(7)

(8)

این دو معادله دیفرانسل حاکم بر حرکت یک سیستم سازه ای دو طبقه  که در معرض نیروهای دینامیکی خارجی  (p₁(t و (p₂(t قرار گرفته و توسط تغییر مکان های (u₁(t و (u₂(t تعیین می شود، می باشند. 

می بایست دقت شود که دو معادله مستقل از یکدیگر نیستند؛ برای تعیین پاسخ تغییر مکان، این زوج معادله می بایست به صورت هم زمان حل شود.

معادلات حرکت فوق می تواند به صورت ماتریسی مطابق زیر باز نویسی شوند:

(9)

که با استفاده از اسامی زیر:

(10)

معادله 9 می تواند به صورت زیر نوشته شود:

(11)

که u و ^··u بردار های تغییر مکان(جابه‌جایی) و شتاب می باشند. (p(t بردار نیروهای دینامیکی خارجی است، m ماتریس جرم است، و k ماترسی سختی سازه دو طبقه می باشد.

حال به سازه N طبقه  شکل 3 باز می گردیم که در معرض نیروهای دینامیکی خارجی در تراز طبقات قرار گرفته است که نیرویی که در تراز طبقه  jام اعمال می شود (p_j(t نام دارد. در اثر نیروهای اعمالی، پیکره تغییر شکل یافته سازه در هر لحظه از زمان می تواند توسط تغییر مکان های طبقات (uj(t که (,…,1,2=j) بدست بیاید.  

(شکل3-ساختمان چند طبقه در معرض نیروهای خارجی)

به دلیل تعمیم مناسب پارمتر های مختلف، N معادله حرکت این سازه می تواند به صورت معادله 11 نوشته شود. برای ساختمان N طبقه، بردار های جابه جایی و نیروهای خارجی عبارتند از:

(12)

ماتریس جرم به صورت:

(13)

و ماتریس سختی به صورت:

(14)

معادله 11 معادله متناظر با حرکت سازه تک درجه آزادی(معادله 15)  برای ساختمان های چند طبقه می باشد به صورتی که c=0 است؛ هر یک از پارامتر های معادله حرکت سازه یک طبقه (معادله 15)به صورت یک ماتریس در معادلات حرکت سازه چند طبقه(معادله 11) در آمده است.
 

(15)

مرتبه ماتریس ها متناظر با تعداد طبقات ساختمان می باشد. در اصل، پارامتر میرایی را می توان در معادله 11 در قیاس با میرایی موجود در معادله 15 اعمال کرد که در این صورت خواهیم داشت:

(16)

که c معادل با ماتریس میرایی سازه و ^·u معادل با بردار سرعت می باشد.

منبع:

«دپارتمان سازه سامانه کارگشا»

احتراما سوال و یا درخواست همکاری خود را مطرح فرمایید.(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)