ارتعاش اجباری سازه چند درجه آزادی

محاسبه فرکانس های طبیعی و مد های ارتعاش

 در بازه رفتار خطی، ویژگی های ارتعاشی سازه که عبارت از فرکانس های طبیعی و مد های ارتعاشی هستند، در تحلیل پاسخ دینامیکی سازه اصلی ترین نقش را ایفا می کنند. محاسبه ویژگی های ارتعاش نیازمند حل معادله ماتریس زیر می باشد:

(1)

که در اصطلاح ریاضی، یک مسئله مشخصه(معادله مشخصه) را مطرح می کند. برای یک سیستم N درجه آزادی، همچون ساختمان N طبقه ایده ال، ماتریس های جرم و سختی از مرتبه N می باشند. حل مسئله مشخصه منتهی به N فرکانس طبیعی و مدهای ارتعاشی می شود: ω_n و Φn و n=1,2,3,…N

روش های زیادی برای حل عددی مسئله مشخصه وجود دارد که در کتاب های تخصصی سازه موجود هستند. برخی از این روش ها به سهولت توسط ماشین حساب قابل اجرا هستند، در صورتی که برخی دیگر برای تحلیل کامپیوتری سازه های پیچیده با تعداد زیاد درجه آزادی (تا 100 درجه آزادی) برنامه ریزی شده اند.

انتخاب کارامد ترین روش کامپیوتری وابسته به ویژگی های ماتریس های جرم و سختی و تعداد فرکانس های طبیعی و مد های ارتعاش مورد نیازی است، که باید محاسبه شوند؛ البته، تعداد اندک اولیه برای تحلیل پاسخ زلزله کفایت می کند. 

پاسخ به تحریک هارمونیک 

نیروهای خارجی که به صورت هارمونیک نسبت به زمان تغییر می کند و به طبقات مختلف ساختمان چند طبقه ایده آل اعمال می شوند را در نظر بگیرید.نیروی خارجی در طبقه jام  به صورت زیر است:

(2)

که در این رابطه، دامنه یا مقدار بیشینه نیرو برابر با p_0j، زمان تناوب آن برابر با ^¯T^¯=2π/ω ، و فرکانس زاویه ای برابر با ^¯ω است. ماتریس جرم و ماتریس سختی طبقات به همان صورت که در ارتعاش آزاد توضیح داده شد محسابه می شوند، و سپس فرکانس های طبیعی و مدهای ارتعاشی محاسبه می شوند. برای مقادیر مشخص نسبت‌های میرایی ξ_n در مدهای طبیعی ارتعاش، پاسخ دینامیکی سازه در برابر نیروهای دینامیکی توسط روش برهم نهی مدها تعیین می شود.

پاسخ سازه از دو قسمت تشکیل شده است: پاسخ ارتعاش آزاد به علاوه پاسخ وضعیت ماندگار.

درسازه میرا، از پاسخ ارتعاش آزاد کاسته می شود، و در نهایت به مقدار ناچیزی تبدیل می شود و معمولا تنها پاسخ وضعیت ماندگار در نظر گرفته می شود. فرکانس پاسخ وضعیت ماندگار برابر با فرکانس نیرو ^¯ω می باشد و بین نیرو و پاسخ متناظرش اختلاف فاز وجود دارد.

جابه‌جایی وضعیت ماندگار در طبقه j ام می تواند توسط رابطه زیر نشان داده شود:

(3)

که  u_j,st برابر با تغییر مکان طبقه j ام سازه در صورتی که نیروهای بیشینه p_°j به صورت نیروهای استاتیکی اعمال شوند، می باشد؛ و θj برابر با زاویه فازی و یا جابه‌جایی فازی زاویه ای است. دامنه تغییر مکان دینامیکی طبقه jام به صورت زیر می باشد:

(4)

که D_j ضریب بدون بعدی است که برابر با نسبت دامنه های پاسخ جابه‌جایی دینامیکی به استاتیکی می باشد. این ضریب وابسته به محل قرارگیری طبقه، فرکانس نیرو، فرکانس های طبیعی و مدهای ارتعاشی سازه و نسبت های میرایی مدی می باشد.

شکل زیر نشان دهنده تغییرات ضرائب پاسخ یک ساختمان سه طبقه نسبت به فرکانس نیرو که در معرض نیروی هارمونیک در تراز بام قرار گرفته است، می باشد. ( در هر یک از سه مد ارتعاش نسبت میرایی برابر با 2 درصد می باشد.)

(شکل1-نسبت فرکانس تحریک به فرکانس های طبیعی ارتعاش)

ضرائب پاسخ در هر طبقه نشان دهنده تشدید در سه فرکانس متفاوت نیرو هستند که مقادیر آن ها برابر با فرکانس های ارتعاش طبیعی سازه است. (با تفاوت بسیار کم به دلیل تاثیر میرایی که درمطالب قبل بیان شد.) بر خلاف سازه یک طبقه که تنها دارای یک فرکانس ارتعاش می باشد.(شکل 2 مطلب پیوست)

در صورتی که فرکانس های ارتعاش طبیعی سازه کاملا از یکدیگر مجزا باشد و سازه داری میرایی کمی باشد، پیکره تغییر شکل یافته سازه که در فرکانسی برابر با n امین  فرکانس ارتعاش طبیعی سازه، ω^¯=ω_n، ارتعاش می کند، مشابه با شکل n امین مد ارتعاشی می باشد؛ بیشتر آن که شکل منحنی پاسخ شکل 1 در مجاورت هر یک از فرکانس های تشدید مشابه با منحنی پاسخ سازه یک در شکل 2 مطلب پیوست در مجاورت فرکانس تشدید می باشد. پهنای باند نیمه توان منحنی پاسخ نزدیک به n امین فرکانس تشدید برابر با 2ξ_n می باشد، که ξ_n نسبت میرایی برای n امین مد ارتعاش می باشد. 

بنابراین، روشی که در مطالب قبل برای تعیین نسبت میرایی از نتایج آزمایش ارتعاش آزاد سازه یک طبقه عنوان شد، به صورات مجزا برای هر یک از فرکانس های تشدید ساختمان چند طبقه کاربردی است. با وجود آن که فاکتورهای زیادی می بایست برای آزمایش سازه های پیچیده در نظر گرفته شود، روش عنوان شده فوق منتهی به ضرائب میرایی ξ برای مدهای متفاوت سازه می شود.

احتراما سوال و یا درخواست همکاری خود را مطرح فرمایید.(مشاوره آنلاین دپارتمان سازه سامانه کارگشا)

منبع:

دپارتمان سازه سامانه کارگشا